¿Por qué la elipse es convexa?

Question

Pues sí, dibujando uno y mirándolo. Pero qué tal si partimos de la definición: la suma de las distancias a dos puntos es constante. Una cuestión más general es partir de una $n$ -elipse (algunos ejemplos aquí: ¿Cómo se llaman las curvas (elipses generalizadas) con más de dos focos y cómo son? ).

Supongamos que $n$ puntos $\mathbf{p}_i$ en un plano bidimensional, definir la elipse general $E$ por $$ \sum_i^n d_i = D_0 \quad \mathrm{with} \quad d_i = |\mathbf{r}-\mathbf{p}_i|, \quad \mathbf{r} = (x,y) $$ Preguntas

1. es $E$ ¿convexo?
2. hace $E$ ¿encerrar todos los puntos?
3. si "no" a la pregunta 2, ¿cuál es el valor $D_0$ tal que $E$ ¿cruzar un punto? ¿Y qué punto?
4. ¿A las dimensiones superiores?

Sé que son muchas preguntas y dudo que existan conocimientos sobre ellas. ¿Podría alguien explicar o señalar algunas referencias?

Actualización: aclaración sobre la pregunta 2. Para la elipse estándar, cuando $D_0$ es muy pequeño, no existe. Llega a la existencia en primer lugar como un segmento de línea que conecta los dos puntos - todavía cuento esto como "encerrar". Un punto no está encerrado sólo si cae totalmente fuera de la forma.

Answer 1

La elipse $E = \{\mathbf r : \sum_i d_i(\mathbf r) = D_0\}$ generalmente no es un conjunto convexo en $\mathbb R^n$ pero cabe preguntarse si el rellenado elipse $F = \{\mathbf r : \sum_i d_i(\mathbf r) \le D_0\}$ es convexo. De hecho, siempre lo es, porque

1. $d_i(\mathbf r)=\|\mathbf r - \mathbf p_i\|$ es una función convexa de $\mathbf r$ ,
2. la suma de funciones convexas es convexa, y
3. el conjunto de subniveles de una función convexa es un conjunto convexo.

Sin embargo, $F$ incluye el punto $\mathbf p_i$ si y sólo si $D_0 \ge \sum_j \|\mathbf p_i - \mathbf p_j\|$ . Por lo tanto, $F$ incluye todos los puntos si y sólo si $D_0 \ge \max_i \sum_j \|\mathbf p_i - \mathbf p_j\|$ . Esta propiedad no depende de la dimensionalidad del espacio $\mathbb R^n$ .

Answer 2

Se trata de un intento de demostrar que el conjunto de todos los puntos del interior y del límite de la elipse general $E$ es efectivamente un conjunto convexo.

Definir el conjunto $S$ de la siguiente manera: $$S= \left\{\mathbf{r} :\sum_i^n d_i(\mathbf{r}) \leq D\right \},$$ donde $d_i(\mathbf{r})=\mid \mathbf r - \mathbf{p_i} \ \mid$ , $D$ es alguna constante, y $\{\mathbf{p_1}, \mathbf{p_2} , ..., \mathbf{p_n}\}$ son los $n$ focos de la elipse general $E$ .

Ahora, queremos demostrar que el conjunto $S$ es convexo. Utilizando la definición de convexidad, para cualquier par de elementos $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2} \in S$ tenemos que demostrar que $\lambda \mathbf{r_1}+(1-\lambda)\mathbf{r_2}$ también está en $S, 0 \leq \lambda \leq 1$ . Esto se puede hacer mediante una simple aplicación de la desigualdad de los triángulos, como sigue:

$$\sum_i^n d_i\left(\lambda \mathbf{r_1}+(1-\lambda)\mathbf{r_2}\right)$$ $$=\sum_i^n \mid \lambda \mathbf{r_1}+(1-\lambda)\mathbf{r_2} - \mathbf{p_i} \ \mid$$ $$=\sum_i^n \mid \lambda \mathbf{r_1} - \lambda \mathbf{p_i} + (1-\lambda) \mathbf{r_2} \ -(1-\lambda) \mathbf{p_i} \ \mid$$ $$\leq \sum_i^n \lambda \mid \mathbf{r_1} - \mathbf{p_i} \ \mid + \ (1-\lambda) \mid \mathbf{r_2} - \mathbf{p_i} \ \mid$$ $$= \lambda \sum_i^n \mid \mathbf{r_1} - \mathbf{p_i} \ \mid + \ (1-\lambda) \sum_i^n \mid \mathbf{r_2} - \mathbf{p_i} \ \mid$$ $$\leq \lambda D + (1-\lambda) D$$ $$= D.$$

Donde la penúltima desigualdad se deduce ya que $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}$ son elementos de $S$ .