¿Puede calcularse la siguiente integral triple mediante métodos de cálculo elemental?

Question

Consideremos la siguiente integral triple:

$$\int_0^{2\pi}\int_0^1 \int_0^1 xy\sqrt{x^2 + y^2 -2xy\cos(\theta)} \, dx \, dy \, d\theta$$

Jack D'Aurizio aportó una solución a esta integral aquí pero ambas soluciones requerían métodos bastante sofisticados, como integrales elípticas y expansiones de funciones especiales. Lo que me cuesta -y me gustaría tener una segunda opinión- es si esta integral puede resolverse de forma cerrada utilizando técnicas de cálculo muy sencillas, como un cambio de variables estándar a polares planas en el dominio xy o a coordenadas esféricas en $R^3$ .

Mi trabajo de los últimos 2 días,múltiples salidas en falso y argumentos geométricos en el dominio parecen indicar que la respuesta es no porque no hay forma de plantear la integral sin introducir un término de $\sqrt {\sin (ax)}$ o $\sqrt {\cos(ax)}$ en algún momento. Por lo tanto, se necesita alguna sustitución funcional especial o una solución por método numérico.

¿O me equivoco?

Answer 1

$$ \begin{align} &\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1xy\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos(\theta)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}\theta\tag{1}\\ &=2\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^yxy\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos(\theta)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}\theta\tag{2}\\ &=2\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1ry^2\sqrt{r^2y^2+y^2-2ry^2\cos(\theta)}\,\,y\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}\theta\tag{3}\\ &=2\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^1ry^4\sqrt{r^2+1-2r\cos(\theta)}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\tag{4}\\ &=\frac25\int_0^{2\pi}\int_0^1\sqrt{r^2+1-2r\cos(\theta)}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\tag{5}\\ &=\frac25\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos(\theta)}r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\tag{6}\\ &=\frac2{15}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}8\cos^3(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{7}\\ &=\frac{16}{15}\int_{-1}^1(1-u^2)\,\mathrm{d}u\tag{8}\\[4pt] &=\frac{64}{45}\tag{9} \end{align} $$ Explicación:
$(2)$ la integral es la misma para $x\lt y$ en cuanto a $x\gt y$ , por lo que se supone que $x\lt y$ y multiplicar por $2$
$(3)$ : sustituto $r=\frac xy$
$(4)$ : recoge el $y$ s y cambiar el orden de integración
$(5)$ : integrar en $y$
$(6)$ : $(5)$ es la distancia desde $(1,0)$ integrado en el disco unitario centrado en $(0,0)$ ;
$\hphantom{(6):}$ esto es lo mismo que $r$ integrado en el disco unitario centrado en $(1,0)$ ,
$\hphantom{(6):}$ cuya ecuación es $r\le2\cos(\theta)$ para $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$
$(7)$ : integrar en $r$
$(8)$ : sustituto $u=\sin(\theta)$
$(9)$ : integrar en $u$