Función de indicador de $\sigma$-álgebra, desembalar las declaraciones.

Question

Esto es relevante a mi pregunta aquí.

Supongamos $\mathcal{F}$ es una colección de funciones con valores en $X$ tal que la constante de funciones en $\mathcal{F}$ y $f + g$, $fg$ y $cf$ $\mathcal{F}$ siempre $f$, $g \in \mathcal{F}$ y $c \in \mathbb{R}$. Supongamos $f \in \mathcal{F}$ siempre $f_n \to f$ y cada una de las $f_n \in \mathcal{F}$. Definir la función$$\chi_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{if }x \in A \\ 0 & \text{if }x \notin A.\end{cases}$$Prove that $\mathcal{A} = \{A \subconjunto X : \chi_A \in \mathcal{F}\}$ is a $\sigma$-álgebra.

No sé ni siquiera para empezar con este monstruo. Para uno, estoy teniendo un tiempo difícil visualizar lo que está pasando. ¿Qué $\mathcal{F}$ incluso parece? ¿Qué $\mathcal{A}$ incluso parece? Podría alguien simplemente me explique lo que todos los términos relevantes aquí aspecto/desempaquetar los términos pertinentes de aquí, y a partir de ahí, ¿cómo empezar?

Answer 1

Usted tiene un conjunto $X$ y una colección de $\mathcal{F}$ de las funciones en $X$. Te dicen que $\mathcal{F}$ es cerrado bajo determinadas operaciones en funciones, como la suma y la multiplicación escalar. Ahora vas a demostrar que el cierre de las propiedades de $\mathcal{F}$ garantía de que $\mathcal{A}$ que tiene algunas propiedades en cierre así.

En particular, se mostrará que $\mathcal{A}$ $\sigma$- álgebra. Recordar lo que esto significa: $X \in \mathcal{A}$ $\mathcal{A}$ es cerrado bajo la complementación y contables de los sindicatos (y, por tanto, contables intersecciones así, por las leyes de DeMorgan), es decir, si $A \in \mathcal{A}$, $A^{c} \in \mathcal{A}$ e si $\{ A_{n} \}_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{A}$,$\cup_{n}A_{n} \in \mathcal{A}$.

Voy a empezar con el control de algunos de lo fácil.

Cómo mostrar $X \in \mathcal{A}$? Así, por la definición de $\mathcal{A}$, $X \in \mathcal{A}$ iff $\chi_{X} \in \mathcal{F}$. Pero, por supuesto, $\chi_{X} \in \mathcal{F}$ porque $\chi_{X} = 1$ es constante en $X$. Por lo $X \in \mathcal{A}$.

Ahora para la complementación. Supongamos $A \in \mathcal{A}$. Queremos mostrar que $\chi_{A^{c}} \in \mathcal{F}$, para entonces, por la definición de $\mathcal{A}$, tendremos $A^{c} \in \mathcal{A}$, lo que demuestra que $\mathcal{A}$ es cerrado bajo la complementación. El truco es escribir $\chi_{A^{c}}$ $\chi_{A}$ (en $\mathcal{F}$ por supuesto) y de las operaciones en virtud de la cual $\mathcal{F}$ es cerrado. Considere la función $-(\chi_{A} - 1)$. Se puede terminar la prueba?