Epimorphisms de monoids

Question

Sé que en la categoría de grupos, el epimorphisms son precisamente los surjective homomorphisms. ¿Qué acerca de la categoría de monoids? Uno puede ver fácilmente, que surjective homomorphisms épicas (incluso de manera efectiva epic).

Edit: que Denota la izquierda adjoint $\mathbf{Mon}\longrightarrow\mathbf{Grp}$ de los desmemoriados functor $U$$G$, la unidad de la contigüidad $M\longrightarrow UGM$ siempre es épica, aunque no siempre surjective, como la incrustación $\Bbb{N}\longrightarrow\Bbb{Z}$ muestra.

El surjective homomorphisms debe coincidir con la efectiva epimorphisms.

Pero: ¿hay un útil caracterización de epimorphisms?

Answer 1

Esta es una pregunta interesante. Yo no sé nada "útil" y "prácticos" caracterización, pero uno puede decir algo acerca de epis en $\mathsf{Mon}$:

Desde el "universal que envuelve grupo" $G: \mathsf{Mon} \to \mathsf{Grp}$ es de izquierda adjunto, conserva epimorphisms, y epimorphisms en $\mathsf{Grp}$ son conocidos por ser surjective. Por lo tanto, si $f : M \to N$ es un epimorphism de monoids, a continuación, $G(f) : G(M) \to G(N)$ es surjective. De manera equivalente, para cada $n \in N$ a la inducida por el elemento $\underline{n} \in G(N)$ tiene algunos preimagen en $G(M)$, decir $\underline{m_1} \cdot \underline{m_2}^{-1} \cdot \dotsc \cdot \underline{m_k}$. Esto significa que $\underline{n} = \underline{f(m_1)} \cdot \underline{f(m_2)}^{-1} \cdot \dotsc \cdot \underline{f(m_k)}$$G(N)$. No sé cómo hacer esto más explícito; en general parece ser difícil determinar si los dos elementos de la $G(N)$ son iguales.

Aquí hay otra idea: Si $M \to N$ es un epimorphism de monoids y $M \twoheadrightarrow M' \hookrightarrow N$ es su costumbre regular (epi, mono)-factorización, a continuación, $M' \to N$ es un epimorphism, y lo contrario también es cierto. Por lo tanto, con el fin de caracterizar epimorphisms, podemos suponer que la $M \hookrightarrow N$ es un submonoid. En general, existe un resultado que indica que una de morfismos $f : X \to Y$ en una categoría con pushouts es un epimorphism si y sólo si la canónica "codiagonal" mapa de $Y \sqcup_{X} Y \to Y$ es un isomorfismo. Así que se haría si podemos describir $N \sqcup_M N$ para un submonoid $M \hookrightarrow N$.

La estructura de los elementos de la subproducto $N \xrightarrow{\iota_1} N \sqcup N \xleftarrow{\iota_2} N$ se ve como se esperaba: los Elementos pueden ser escritas como finito "alterna" de los productos de $ \dotsc \cdot \iota_1(u) \cdot \iota_2(v) \cdot \iota_1(w) \cdot \dotsc$ con elementos singulares $\dotsc,u,v,w,\dotsc$$N \setminus \{1\}$. El pushout $N \sqcup_M N$ es el cociente de $N \sqcup N$ por la menor relación de congruencia $\sim$ tal que $\iota_1(m) \sim \iota_2(m)$$m \in M$. Entonces, ¿cómo hacer $\sim$ explícito? No creo que este va a ser fácil. En el caso de grupos, se trata de un elemento conocido de la estructura de pushouts utilizando coset representantes, pero este no está disponible para monoids.