¿Es una condición suficiente para un subconjunto de un espacio topológico a ser cerrado?

Question

Que $X$ sea un espacio topológico, y que $\{U_i\}$ ser una cubierta abierta. ¿Si $Y$ es subconjunto de $X$ tal es cerrado que $Y\cap U_i$ $U_i$ (para cada $i$), esto implica que el $Y$ está cerrado en $X$?

Answer 1

Tenga en cuenta que $Y^c\cap U_i = U_i \setminus Y \cap U_i$ está abierta en $U_i$. Por lo tanto, está abierta en $X$. Ahora, desde $\bigcup U_i = X$, está abierta en $Y^c = \bigcup (Y^c \cap U_i)$ $X$. Por lo tanto se cierra $Y$.