Estoy trabajando en el capítulo 2 de Royden (4ª ed.).
El problema es
Mostrar que la continuidad junto con aditividad finita de medida implica contables aditividad de la medida.
Mi prueba:
Deje $\{F_k\}_{k=1}^\infty$ ser una contables de la colección de distintos conjuntos medibles y definir $E_n$ por $$E_1=F_1$$ $$E_k=E_{k-1}\cup F_k$$ para $k\geq 2$. Así que, a continuación,$E_k\subset E_{k+1}$, donde cada una de las $E_i$ es medible. Por construcción tenemos, $$\bigcup_{k=1}^\infty F_k=\bigcup_{k=1}^\infty E_k.$$ Also, since the sets $F_i$ son distintos, $$m(E_k)=m(F_1)+\dots+m(F_k).$$ Así tenemos, \begin{align} m\left(\bigcup_{k=1}^\infty F_k\right)&=m\left(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\right) \nonumber \\ &=\lim_{k\to\infty} m(E_k) \nonumber \\ &=\lim_{k\to\infty} m(F_1)+\cdots+m(F_k)\nonumber\\ &=\sum\limits_{k=1}^\infty m(F_k) \nonumber \end{align}
He estado trabajando a través de este libro y se dio cuenta que la construcción se usa bastante y me pregunto si alguien me podría dar información sobre la determinación de cómo construir el conjunto de la derecha. Me di cuenta de que la anterior por ensayo y error, con un razonamiento, pero yo realmente no tienen un claro enfoque.
