¿Cómo lidiar con $A^{26}=I$?

Question

Me quedé atrapado en este problema:

Deje $A:\mathbb{R}^{6}\rightarrow \mathbb{R}^{6}$ ser una transformación lineal. Suponga $A^{26}=I$, demuestran que, a $R^{6}=\oplus_{i=1}^{3} V_{i}$, $AV_{i}\subset V_{i}$(la condición explícita de es $V_{i}$ 2 dimensiones de los subespacios invariantes de $\mathbb{R}^{6}$ bajo $A$).

Mi pensamiento es $A$ debe tener un mínimo polinomio de grado menor o igual a 6. Por lo tanto, ya que divide $x^{26}-1$, las únicas opciones son: $$x-1,x+1,x^{2}-1$$ since the rest term $$(x^{13}-1)/(x-1)*(x^{13}+1)/(x+1)$$ has factors irreducible and degree higher than 6. And the claim is trivial in the case $A=\pm I$. But I do not know how to deal with the case $^{2}-I=0$ - $Un$ can only have eigenvalues $1$ and $-1$, pero, ¿cómo esto ayuda a resolver el problema?

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Editar:

A la luz de hizo comentarios de $\sum^{12}_{i=0}x^{i}$ $\sum^{12}_{i=0}(-1)^{i}x^{i}$ puede ser reducible sobre los reales en pares de 6 cuadráticas, y el correspondiente $A$'s son las rotaciones. Pero todavía me siento un poco confundido, como si el problema es resuelto en esta etapa, por lo que sugiere $A$'s mínimo polinomio debe ser un producto de la $$x-1,x+1,x^{2}-1, x^{2}-\cos[\theta]x+1$$ las que tratan, respectivamente, por $I,-I$, la selección de vectores linealmente independientes y ejecutar con $A$, y la selección de la rotación subespacio invariante. Ya que, obviamente, los casos como el de $$(x\pm 1)(x^{2}-\cos[\theta]x+1)$$ or even $$(x+1)(x-1)^{2}$$ podría suceder.

Answer 1

La descomposición de la $x^{26}-1$ en factores irreducibles sobre $\mathbb R$ es $$ (x-1)\cdot(x+1)\cdot\prod\limits_{k=1}^{12}p_k(x),\qquad p_k(x)=x^2-2\cos(k\pi/13)x+1. $$ Esta casi determina el polinomio mínimo $\mu_A(x)$$A$, ya que el $\mu_A(x)$ divide $x^{26}-1$. Por lo tanto $\mu_A(x)$ es el producto de más de tres factores de $p_k(x)$ y, posiblemente, un factor de $x-1$ y, posiblemente, un factor de $x+1$. En cualquier caso, $\mu_A(x)$ no tiene repetido irreductible factor de ahí $A$ es equivalente a más de $\mathbb R$ a una matriz diagonal por bloques, con (1.) posiblemente un número de bloques de tamaño $1\times1$ igual a $+1$ o a $-1$ y (2.) posiblemente algunos bloques de tamaño $2\times2$ igual a la rotación de las matrices $$ \begin{pmatrix}\cos(k\pi/13)&\sin(k\pi/13)\\ -\sin(k\pi/13)&\cos(k\pi/13)\end{pmatrix}. $$ Esto produce el deseado de descomposición de la siguiente manera: elegir cada plano a la izquierda invariante por una de las matrices de rotación, si hay algunos, y completa por cualquier aviones fabricados de vectores propios con autovalores $\pm1$, si es necesario. (Tenga en cuenta que el resultado es tal que $AV_i=V_i$ por cada $i$.)

Answer 2

Supongamos que $A^2 = I$. Que $x$ ser cualquier vector distinto de cero. Entonces el espacio atravesado por $x$ y $Ax$ es invariante. Repetir.

Answer 3

Considere la posibilidad de $$B=\sum_{i=0}^{12}A^{2i}$$

Usted encontrará fácil subespacio invariante por considerar $B(x)$, debido a $A^2(B(x))=B(x)$. Así que tome $B(x)$ $A(B(X))$ para la construcción de 2 dimensiones subespacio invariante. Hay algunos degenerados caso (por ejemplo,$B(x)=0$), pero no debe ser demasiado duro...

EDITAR :

Una tiene 6 eigen valores de $\lambda_i$$\mathbb C$. Como $A^{26}=I$, $\lambda_i^{26}=1$, ellos no son los valores cero. Ya sea

1. $\lambda_i\in{\mathbb R}$
2. $\lambda_i\notin{\mathbb R}$ $\exists j \lambda_j=\bar{\lambda_i}$

Así que usted puede construir 3 2 dimensiones de los espacios por parte de la agrupación de los valores complejos con sus respectivos conjugado, o cualquier valor real con cualquier otro valor real...