¿Hay alguna distribuciones no idéntico que tiene la misma función generadora de momento?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sí.
En un ejercicio, Stuart Y Ord (Kendall Avanzado de la Teoría de las Estadísticas, 5ª Ed., Ex. 3.12) cita un 1918 resultado de TJ Stieltjes (que al parecer aparece en sus Obras Completa,):
Si $f$ es una extraña función del período $\frac{1}{2}$, muestran que
$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$
para todos los valores integrales de $r$. Por lo tanto, muestran que las distribuciones
$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$
tienen los mismos momentos en lo que el valor de $\lambda$.
(En el original, $|\lambda|$ sólo aparece como $\lambda$; la restricción en el tamaño de $\lambda$ surge de la necesidad de mantener todos los valores de la función de densidad de $dF$ no negativo.) El ejercicio es fácil de resolver a través de la sustitución de $x = \exp(y)$ y completando el cuadrado. El caso de $\lambda=0$ es la conocida distribución lognormal.
La curva azul corresponde a $\lambda=0$, una distribución lognormal. Para la curva de color rojo, $\lambda = -1/4$ y para el oro de la curva, $\lambda = 1/2$.
