Continuidad del producto escalar

Question

En un espacio de Hilbert $H$ con producto interior y norma asociada, ¿por qué si $\|x-x_n\| \longrightarrow 0$ y $\|y-y_n\| \longrightarrow 0$ también $\langle x_n,y_n\rangle \longrightarrow\langle x,y\rangle$ ?

Entiendo que por Cauchy-Schwarz $\lvert\langle x-x_n,y-y_n\rangle\rvert \leq \|x-x_n\|\cdot\|y-y_n\|\xrightarrow{n\to\infty} 0$ pero ¿cómo puedo llegar a $\lvert\langle x,y\rangle-\langle x_n,y_n\rangle \rvert\longrightarrow 0$ ?

Answer 1

Pista:

$$|\langle x,y\rangle-\langle x_n,y_n\rangle|=|\langle x,y\rangle-\langle x_n,y\rangle+\langle x_n,y\rangle-\langle x_n,y_n\rangle|;$$

Agrupando los términos, utilizando la desigualdad triangular para $|\cdot|$ y Cauchy-Schwarz ayuda.