¿PSD implica en promedio diagonal dominante?

Question

Supongamos que es de $A$ $N \times N$ matriz semidefinite positiva. Esto no implica necesariamente que $A$ es diagonalmente dominante. Pero implica la siguiente "media dominación diagonal" es decir

$$\frac{1}{N} \sum_{i}A_{i,i}\ge \frac{2}{(N-1)N} \sum_{j=1}^{N}\sum_{i<j}A_{i,j}\text{ ?}$$

Answer 1

Es de suponer que usted está hablando acerca de la real matrices. Si es así, la desigualdad es verdadera. Sólo necesitamos considerar únicamente el caso en que el lado derecho es positivo, debido a que el lado izquierdo es siempre no negativo. Así, no es suficiente para demostrar la desigualdad que $$ \frac1N\sum_i a_{ii} \ge \frac2{N(N-1)}\sum_j\sum_{i<j}a_{ij}\etiqueta{1} $$ cuando la HR es no negativa. A su vez, es suficiente para demostrar $(1)$ en general, independientemente de si el lado derecho es positivo o no.

Reescribir $(1)$ $\operatorname{trace}(A)\ge u^TAu$ donde $u$ es el vector unitario $\frac1{\sqrt{N}}(1,1,\ldots,1)^T$. Ahora la desigualdad, obviamente, sostiene. De hecho, cuando se $A$ PSD, tenemos $\operatorname{trace}(A)\ge \lambda_\max(A)\ge v^TAv$ por cada unidad de vectores $v$.