Sustitución integral.

Question

Para integrales de la forma:

$$\intop_a^bg(t)dt,$$

podemos aplicar el $tanh$-de sustitución para transformar la integral en una integral, doblemente infinita, es decir:

$$\intop_a^bg(t)dt = \frac{b-a}{2}\intop_{-\infty}^\infty g \left( \frac{b+a}{2} \frac{b-a}{2}\tanh(u) \right)\mathrm{sech^2(u)} du.$$

Mi pregunta es - existe otro método de sustitución podemos usar para transformar:

$$\intop_a^bg(t)dt,$$

a un solo infinito integral, e.g: $$\intop_0^{\infty} g(f(u))du?$ $

Answer 1

Puede hacerlo en dos pasos:

1. En primer lugar hacer un cambio de variable $t\rightarrow \frac{1}{b-a}(t-a)$. Esto cambiará la integración sobre el intervalo de $(0,1)$.

2. Hacer un cambio secundario de la variable $t\rightarrow\frac{1-t}{t}$. Esto va a cambiar la integración $(0,1)$ a una integración más $(0,\infty)$.