Como ya se ha dicho, la respuesta depende mucho del uso que se le dé. Para escribir el número cero, está claro que tiene un dígito, pero para algunas aplicaciones es útil decir que el cero tiene infinitos dígitos negativos.
¿Cómo es eso? Bueno, es un teorema que dice que la cuenta de dígitos en una suma de dos números (positivos, no nulos) es igual a la cuenta de dígitos del número mayor (posiblemente más uno), y la cuenta de dígitos en un producto de dos números (positivos, no nulos) es igual a la suma de la cuenta de dígitos de los dos números (posiblemente menos uno). Por ejemplo, $48$ y $35$ tienen dos dígitos cada uno, y $48\times35=1680$ tiene cuatro dígitos. Estos resultados pueden derivarse del hecho de que un $d$ -número de dígitos $x$ satisface $10^{d-1}\leq x\lt 10^d$ ; $d$ está relacionado con el logaritmo de $x$ (de hecho, es $1+\lfloor\log x\rfloor$ ). Por ejemplo, supongamos que $x\geq y$ con $x$ a $d$ -y el número de dígitos $y$ un $f$ -número de dígitos (así $d\geq f$ ); entonces $10^{d-1}\lt 10^{d-1}+10^{f-1}\leq x+y\leq 10^d+10^f\leq 10^d+10^d=2\cdot 10^d\lt 10^{d+1}$ Así que $x+y$ debe ser $d$ o $d+1$ dígitos (y es fácil ver que ambas cosas pueden ocurrir).
Ahora, las mismas reglas pueden ampliarse de forma razonable para permitir que los números sean positivos o cero - ¡pero sólo si definimos la cuenta de dígitos del cero como infinito negativo! Esto tiene sentido si consideramos la desigualdad que hemos mencionado; si $0$ tenía $d$ dígitos, entonces lógicamente debemos tener $10^{d-1}\leq 0$ - pero $10^n\gt 0$ para todos $n$ Así que $d$ debe ser menor que cualquier número. Asimismo, dado que $0\times x=0$ para todos $x$ , entonces si $0$ tiene $d$ debe tener también $d+f-1$ o $d+f$ dígitos (donde $f$ representa aquí el número de dígitos de $x$ ) para todos los $f$ . Ningún número real satisface esto, pero si decimos que la cuenta de dígitos del cero es un nuevo número $-\infty$ con las propiedades que $\max(-\infty, d)=d$ y $(-\infty)+d=-\infty$ para todos $d$ entonces podemos mantener las propiedades de nuestra función de contar dígitos.
Una generalización de esta idea aparece en la noción de grado de un polinomio, en el que se hace un caso especial del polinomio cero de forma similar y se dice que tiene "grado infinito negativo".
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¿Con qué fin? Tipográficamente (para ver cuánto espacio se necesita para escribir): $1$ digito. ¿Tenía algún otro propósito en mente?
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Creo que estás combinando diferentes nociones. Los números no tienen dígitos. Las representaciones de los números tienen dígitos, y la representación del número cero en los numerales árabes es el carácter 0, que es un solo dígito.
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Si esto fuera una encuesta, entonces $-\infty$ debería ser una opción.
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@DanielV Eso fue exactamente lo que pensé - ¡estaba en proceso de escribirlo como respuesta!
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@DanielV Si esto fuera un poste , $-\infty$ sería una opción.
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Nota al margen: Por lo que recuerdo (por haber leído, no por haber vivido realmente en esa época), los árabes han "importado" el sistema de base decimal de la India, y han añadido la notación de $0$ (los indios no tenían ninguna notación para el cero). Esta versión del sistema de base decimal se "adoptó" gradualmente en todos los territorios del imperio otomano -Oriente Medio y Europa del Sur- y finalmente en el resto de Europa, hasta convertirse en el sistema de conteo convencional de la raza humana. No sé muy bien en qué momento se adoptó en Extremo Oriente (China, Japón, etc.).
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Mucha gente dice con confianza que el cero tiene un dígito, con la justificación de que hay un dígito visible en el número. Con esta lógica, se podría decir que el número "11" tiene 3 dígitos (011), 8 dígitos (00000011), etc.