Tres círculos con centros en los tres lados de un triángulo

Question

NOTA: yo le agradecería si usted proporcionó una sugerencia y no la solución a todo.

BdMO De 2014 Nacionales:

En agudo de ángulo del triángulo ABC, considerando una porción del lado BC como el diámetro de un el círculo se dibuja cuyo radio es de 18 unidades y toca AB y AC lado. Del mismo modo, teniendo en cuenta que una porción de los lados AC y AB como diámetros, otros dos círculos son dibuja cuyos radios son de 6 y 9 unidades, respectivamente. ¿Cuál es el radio de la circunferencia inscrita de ∆ABC?

El principal problema con este problema es que la cifra es muy desordenado.Así que dibujé un círculo,y trató de obtener información de ella.Me di cuenta de que si $O$ es un centro de uno de los anteriores (semi)círculos,y si $O$ se encuentra en $AB$, $CO$ es una bisectriz de un ángulo.Por lo tanto,si nos conectamos todos los vértices con los centros,su intersección sería el incentre.Entonces tenemos que soltar una perpendicular desde este punto de obtener el inradius.Pero eso no nos ayuda.He encontrado algunos triángulos semejantes en la figura.Pero eso no me ayuda en absoluto.

También he tratado de volver atrás.Traté de ponerme en el problema-del fabricante de zapatos y trató de imaginar lo que yo haría si tuviera que crear un problema como este.Por desgracia,no pude hacerlo..

Cualquier perspicaz comentario,sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Aquí está una (no a escala) de la imagen de la situación:

Necesariamente, centro de cada círculo ($D$, $E$, o $F$) es el punto donde una bisectriz de un ángulo se encuentra con un borde opuesto; por otra parte, los puntos de tangencia de un círculo con los bordes adyacentes (por ejemplo, $D^\prime$$D^{\prime\prime}$) son simplemente los pies de las perpendiculares desde el centro hacia los bordes.

Vamos a escribir $a$, $b$, $c$ para las longitudes de los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, y $d$, $e$, $f$ para los radios de $\bigcirc D$, $\bigcirc E$, $\bigcirc F$. Ahora, observando que cada bisectriz de un ángulo corta el triángulo con la sub-triángulos con la práctica "bases" y "alturas", podemos calcular el área, $T$ $\triangle ABC$ en tres formas:

$$T \;=\; \frac12 d\;(b+c) \;=\; \frac12 e\;(c+a) \;=\; \frac12 f\;(a+b)$$

Por supuesto, la escritura $r$ para el inradius de $\triangle ABC$, tenemos un conocido cuarta fórmula para el área de: $$T \;=\; \frac12 r\;(a+b+c)$$

Podemos eliminar fácilmente $a$, $b$, $c$ a partir de la anterior. Por ejemplo, $$\begin{align} b+c = \frac{2T}{d}\quad c+a=\frac{2T}{e}\quad a+b = \frac{2T}{f} &\quad\to\quad 2(a+b+c) = 2T\left(\;\frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}\;\right) \\ a+b+c = \frac{2T}{r} &\quad\to\quad 2(a+b+c) = 2T\left(\;\frac{2}{r}\;\right) \end{align}$$ así que, como @Jack notas, $$\frac{2}{r} = \frac{1}{d} + \frac{1}{e} + \frac{1}{f}$$

Answer 2

Obviamente, los centros de los tres círculos son el % de pies $L_A,L_B,L_C$de las bisectrices. Que $I$ ser el Incentro. Un homothethy da que el radio del círculo en el lado de % de $BC$es $\frac{AL_A}{AI}$ el inradio $r$. Teorema de van Obel y el teorema de la bisectriz dan: %#% $ #% por lo tanto, sabemos que los cocientes entre las longitudes laterales de $$\frac{AL_A}{AI}=\frac{a+b+c}{b+c},$.

Por otra parte, si $ABC$ son los tres radios de los círculos, por la relación anterior obtenemos: $R_A,R_B,R_C$ $