Matemática discreta - encuentre todas las soluciones de la ecuación de $a^2+ b^2 + c^2=a^2 b^2$ entero.

Question

Encontrar todas las soluciones de la ecuación de $a^2+ b^2 + c^2=a^2 b^2$ entero.

Esta es una de las preguntas que presentamos en una sesión a la preparación del concurso PUTNAM. Resulta que no puedo por el problema. ¿Alguien sólo me podría dar una pista? (Por favor, no me da la respuesta. Simplemente, un argumento que puede ayudar a avanzar en el problema o Teorema podría suficiente.)

Answer 1

Aquí están algunas sugerencias.

Caso $1$: $a$ o $b$ es incluso.

Luego RHS $\equiv 0 \pmod 4$. Entonces tenemos que la LHS también es $0 \pmod 4$. La LHS, será una suma de una plaza o dos plazas modulo $4$ en este caso. Esto obliga a todos los de $a,b,c$ a ser, incluso, desde los residuos cuadráticos módulo $4$ son $0$ o $1$. Por lo tanto, a menos que todos los $a,b,c$$0$, podemos dividir las facultades de $2$ a obtener para el caso de $2$.

Caso $2$: Tanto en $a,b$ son impares.

Luego RHS es $1 \pmod 4$ y LHS es $2+c^2 \pmod 4$. Esta ecuación es imposible.

Por lo tanto la única solución es $(0,0,0)$.

Answer 2

La ecuación es equivalente a $$ c^2+1=(a^2-1)(b^2-1) $$ Puesto que el lado izquierdo es $1$ o $2$ mod $4$, y el lado derecho es $0$ o $1$ mod $4$, ambas deben ser $1$ mod $4$, lo que significa que $a,b,c$ debe ser par.

Desde cualquier prime que es $3$ mod $4$ es una Gaussiana prime, no prime que es $3$ mod $4$ puede dividir $c^2+1=(c+i)(c-i)$. Por lo tanto, el único de los números primos que se puede dividir $c^2+1$ debe $1$ mod $4$.

Desde $a^2-1$ $b^2-1$ ambos $3$ mod $4$, deben tener un primer factor que es $3$ mod $4$ y por lo tanto no se puede dividir el lado izquierdo (excepto si se $-1$). Por lo tanto, la única solución es al $a,b,c=0$.