¿Es correcta mi contraejemplo?

Question

En mi tarea real para el análisis me pidieron probar la siguiente declaración:

En $[0,1]$ $1\leq{}p&lt\infty$ Si $f_{n}\rightarrow{}f$.e. y $||f_{n}||_{p}\leq{}M \space\space\forall\space n$, muestran que $f_{n}\rightarrow{}f$ débilmente en $L^{p}$.

Pensé en él durante algún tiempo, pero yo no podía venir para arriba con una prueba. Entonces, de repente, parecía que me encontré con un contra-ejemplo de esta afirmación. ¿Alguien puede ayudarme a juzgar si mi contra-ejemplo es válido?

$$ f_{n} = \begin{cases} n^{2}x, & x\in [0,\frac{1}{n}] \\ 2n-n^{2}x, & x\in[\frac{1}{n},\frac{2}{n}] \\ 0, & x\in[\frac{2}{n},1] \end{casos} $$

$$ g=1 \text{ en } [0,1] $$

$$ f=0 \text{ en } [0,1] $$

Entonces a mí me parece que $f_{n}\rightarrow{}f$.e. en $[0,1]$, $f\in{}L^{1},g\in{L^{\infty}}, ||f||_{1}=1\leq2$. Pero $\int{f_{n}g=1\nrightarrow0=\int{fg}}$. Por lo $f_n$ no converge débilmente a$f$$L^{1}$.

Es mi contra-ejemplo válido? Si no, ¿cómo puedo probar que la declaración?

Gracias!!

Answer 1

Si $1&ltp&lt+\infty$, la declaración es verdadera. Esto es bastante estándar, por ejemplo lema 4.8 en Kavian, des de introducción à la théorie puntos críticas, Springer-Verlag. Se supone $p=1$, donde la declaración es realmente falsa. Un ejemplo más compacto es la secuencia de funciones $f_n(x)=n \mathrm{e}^{-nx}$, $x \in [0,1]$. La razón es, esencialmente, que $L^1$ no es un espacio de Banach reflexivo, mientras que $L^p$ es, cada finito $p >1$.