Pregunta sobre derivado del radón-Nikodym...

Question

Los problemas son como sigue:

(1) Vamos a $X=[0,1]$ con Lebesuge medir y considerar la probabilidad de medidas de $\nu,\mu$ dado por densidades $f,g$ como sigue: $$\nu(E)=\int_{E} f\;dm\;\;and\;\;\mu(E)=\int_{E}g\;dm$$ $\forall E \subset [0,1]$ s.t $E$ medibles. Supongamos que $f(x),g(x)>0$ $\forall x\in [0,1]$. Es $\nu$ absolutamente continua w.rt $\mu$? Si es así, determinar el Radon-Nikodym derivado $\frac{d\nu}{d\mu}$. Es $\mu$ absolutamente continua w.r.t a $\nu$?

(2) Para un punto de $x$, definir la medida de Dirac $\delta_x$ $$\delta_x=\chi_{A}$$ donde $\chi_{A}$ es el indicador de la función sobre el conjunto A. Para un conjunto fijo $B$, definir la medida de Lebesgue restringido a $B$$m_B(A)=m(A \cap B)$. Deje $\mu=\delta_1 + m_{[2,4]}$$\nu=\delta_0+m_{(1,2)}$. Mostrar que $\nu$ es singular a $\mu$.

Así que, aquí está lo que he hecho:

1) a partir de $f(x),g(x)>0$ $\forall x \in [0,1]$, de ello se sigue que $$\nu(E),\mu(E)>0 \iff m(E)>0$$ y $$\nu(E),\mu(E)=0 \iff m(E)=0$$ $$\implies \nu(E) << \mu(E)\;\;\;,\;\;\; \mu(E) << \nu(E)$$

Queremos encontrar a $\frac{d\nu}{d\mu}$. Habiendo $f=\frac{d\nu}{dm}$$g=\frac{d\mu}{dm}$, y luego dividiendo $f$$g$, obtenemos $$\frac{\frac{d\nu}{dm}}{\frac{d\mu}{dm}}=\frac{f}{g}$$ $$\implies \frac{d\nu}{d\mu}=\frac{f(x)}{g(x)}$$ $\square$

(2) se Han $$\mu=\delta_1 + m_{[2,4]}\;\;,\;\;\nu=\delta_0+m_{(1,2)}$$ $$\implies \mu(A)=\delta_1(A)+m_{[2,4]}(A)=\delta_1(A) + m(A\cap [2,4])$$ $$\nu(A)=\delta_0(A)+m_{(1,2)}(A)=\delta_0(A)+m(A\cap(1,2))$$ Observe que en cada delta, estamos tratando con un solo punto. En particular, el singleton $\{1\}=[1,1]$$\{0\}=[0,0]$. Por lo tanto, $$\mu(A)=\delta_1(A) + m(A\cap [2,4])=\mu(A\cap([1,1]\cup [2,4]))$$ $$\nu(A)=\delta_0(A)+m(A\cap(1,2))=\nu(A\cap([0,0]\cup (1,2)))$$ Desde $(A\cap([1,1]\cup [2,4])\cap(A\cap([0,0]\cup (1,2)))=\emptyset$, se deduce que el $\mu$ $\nu$ están en singular el uno al otro.

$\square$

No me tire alguna tontería? El radón y no he ido recibiendo a lo largo muy bien, así que he tenido problemas correctamente envolver mi cabeza alrededor de estos hallazgos. Si me he ido por el camino equivocado, ¿cómo me voy a ir yo acerca de la solución de estos problemas?

Answer 1

La primera es correcta: también puede escribir más corto. Recordemos que dos de las medidas de $\mu$ $\nu$ se llaman equivalentes si $\mu\ll \nu$$\nu\ll\mu$: esto se denota como $\mu\sim \nu$. Esta es una relación de equivalencia, y, en particular, es transitivo. Además, $\mu\sim \nu$ fib $\frac{\mathrm d\nu}{\mathrm d\mu}$ existe y positiva ($\mu$ -.e.) o, equivalentemente, iff $\frac{\mathrm d\mu}{\mathrm d\nu}$ existe y positiva ($\nu$ -.e.).

1. Desde $f,g>0$ tenemos $\mu\sim m$ $\nu\sim m$ por lo tanto, por transitividad $\mu\sim \nu$. La fórmula de relación también es correcta.

2. Para mostrar mutuo singularidad, necesitamos encontrar un conjunto $A$ tal que $\mu(A^c) = 0$$\nu(A) = 0$: $\mu$ está concentrado en $A$$\nu$$A^c$. De la forma de $\mu$ es evidente, que el $A = \{1\} \cup [2,4]$ es un buen candidato, y usted sólo tiene que comprobar las dos últimas condiciones para ver que funciona.

La solución de 2. tiene, sin duda, los buenos pensamientos, pero es un poco confuso y poco claro, diría yo. Especialmente en el punto donde se expresan $\mu$ a través de $m$ y, a continuación, de nuevo a través de $\mu$ sí.