Demostración del teorema de Stewart sin trigonometría

Question

El teorema de Stewart establece que en el triángulo que se muestra a continuación,

$$ b^2 m + c^2 n = a (d^2 + mn). $$

¿Hay alguna forma de demostrarlo sin utilizar la trigonometría? Todas las pruebas que he encontrado utilizan la ley de los cosenos.

Answer 1

Puedes hacerlo utilizando el teorema de Pitágoras. Trataré el caso en el que $\angle (a,b)$ y $\angle(a,c)$ son tanto agudas como $m \gt n$ como en su figura.

Dibuja la altura $h$ del triángulo $abc$ y denotar el segmento medio resultante en $a$ por $x$ . Utilizando el teorema de Pitágoras se ve

$$\begin{align*} b^2 &= h^2 + (n+x)^2 \\ c^2 &= h^2 + (m-x)^2 \\ d^2 &= h^2 + x^2 \end{align*}$$

Por lo tanto, $$\begin{align*} b^2 m &= h^2m + n^2m + 2mnx+x^2m \\ c^2 n &= h^2n + m^2n - 2mnx + x^2n \\ b^2 m + c^2n &= (n+m)(h^2 + mn + x^2) = a(d^2 + mn) \end{align*}$$ como queríamos.

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Si $\angle(a,c)$ es obtuso, la misma idea funciona: Escribe $$b^2 = (m+n+x)^2 + h^2, \qquad c^2 = x^2 + h^2, \qquad d^2 = (m+x)^2 + h^2$$ y calcular de forma similar.

La simetría y la consideración de algunos casos degenerados conducen fácilmente a una demostración completa del teorema de Stewart a partir de lo que he escrito aquí.

Estaría muy bien tener una buena prueba pictórica que hiciera la identidad tan obvia como la de Pitágoras, pero hasta ahora no he podido dar con una figura bonita que lo consiga.

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Añadido: Matthew Stewart (1717-1785) publicó este teorema como Proposición II en la página 2 de su libro de 1746 Algunos teoremas generales de gran utilidad en las partes superiores de las matemáticas (arxive.org). Lamentablemente, los escaneos de Google no parecen incluir las figuras, pero son fáciles de reconstruir a partir de la descripción en el texto.

Actualización: (por @brainjam) Me he tomado la libertad de añadir un escaneo parcial de las cifras de otro Escaneo en Google -

Un caso de la Proposición II de Stewart se lee en la notación anterior:

$$b^2 + c^2 \frac{n}{m} = an + d^2 \frac{a}{m}$$

y tiene el siguiente bonito corolario:

$$a^2 + b^2 + c^2 = 2d^2 + m^2 + n^2.$$

Aquí está la página del título y el pasaje correspondiente (tampoco se utiliza la trigonometría). Como la Proposición I se utiliza en la prueba, estoy incluyendo todo el principio del texto:

Answer 2

Los equivalentes geométricos de la Ley de los Cosenos ya están presentes en el Libro II de Euclides, en las Proposiciones $12$ y $13$ (el primero es el caso del ángulo obtuso, el segundo es el caso del ángulo agudo).

Aquí están los enlaces a Propuesta $12$ Libro II y a Propuesta $13$ .

No hay absolutamente ninguna trigonometría en las pruebas de Euclides.

Estos equivalentes geométricos de la ley de los cosenos pueden utilizarse de forma mecánica como sustitutos de la ley de los cosenos en las pruebas "estándar" del teorema de Stewart. Lo que en los enfoques trigonométricos consideramos como $2ab\cos\theta$ es, en Euclides, el área de un rectángulo que se suma o se resta al área combinada de dos cuadrados.

Answer 3

En primer lugar, véase el artículo de Wikipedia Teorema de Stewart . Personalmente, prefiero la formulación simétrica del teorema, porque es fácil de recordar sin ningún truco mnemotécnico:

Dejemos que $A$ , $B$ , $C$ sean puntos de una línea dirigida $l$ en el plano euclidiano, y $P$ sea un punto en cualquier parte del plano. Entonces $$ PA^2\cdot BC + PB^2\cdot CA + PC^2\cdot AB + BC\cdot CA\cdot AB = 0~, $$ donde la longitud de un segmento de línea $XY$ en la línea $l$ es positivo si el segmento tiene la misma dirección que la línea, y es negativo si tiene la dirección opuesta.

Prueba. La prueba es un cálculo sencillo. Elija un sistema de coordenadas cartesianas con la línea dirigida $l$ como primer eje, y que los puntos implicados tengan las coordenadas $A=(a,0)$ , $B=(b,0)$ , $C=(c,0)$ , $P=(x,y)$ . La identidad de Stewart es esencialmente la identidad polinómica $$ (1) \quad (x-a)^2(c-b) + (x-b)^2(a-c) + (x-c)^2(b-a) + (c-b)(a-c)(b-a) = 0~, $$ que es fácilmente verificable. (Ve y haz realmente el cálculo: es divertido observar cómo se cancela todo). Ahora añade a la identidad anterior la identidad obvia $$ y^2(c-b) + y^2(a-c) + y^2(b-a) = 0~, $$ y tienes el teorema de Stewart completo. Hecho.

Nótese que el teorema es cierto también en situaciones parcialmente degeneradas, en las que algunos de los puntos $A$ , $B$ , $C$ coinciden, o el punto $P$ está en la línea $l$ . Un razonamiento geométrico tiene que discutir estos casos degenerados por separado, mientras que la prueba computacional los subsume sin problemas en el caso general.

Observación. La identidad $(1)$ es un genérico identidad polinómica, lo que significa que es una identidad en el anillo $\mathbb{Z}[a,b,c,x]$ de polinomios en variables (formales) $a$ , $b$ , $c$ , $x$ con coeficientes enteros, y por lo tanto se instancian a una identidad cuando las variables se sustituyen por elementos de un anillo conmutativo arbitrario. Esta observación nos dice que el teorema de Stewart es válido en la "geometría plana euclidiana" sobre cualquier anillo conmutativo, en particular sobre cualquier campo.

Answer 4

Si puedes conseguir M. S. R. Anjaneyulu, Elements of Modern Pure Geometry, Asia Publishing House, Nueva York 1964 (MR0172146 (30 #2372)), puede que tenga lo que buscas. La reseña, escrita por Coxeter, comienza así: "Este es un libro de texto muy bien escrito. La obra comienza con segmentos de línea dirigidos, el teorema de Stewart y una definición métrica para la relación armónica...." y la reseña nunca menciona la trigonometría.