¿Hay algún error en esta pregunta?

Question

Para una variable aleatoria $X$ con la media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ definir $V(x)=\mathbb{E}(X-x)^2$ . Al expresar $V(X)$ en términos de $\mu,\;\sigma^2,X$ demostrar que $\sigma^2=\frac{1}{2}\mathbb{E}(V(X))$ .

Mi pregunta es: ¿no es $V(X)=0?$ Lo he reescrito como $V(X)=\sigma^2-(\mu-X)^2$ pero esto no lleva a ninguna parte. Creo que estoy malinterpretando algo, o tal vez hay un error en la pregunta.

Answer 1

Mi pregunta es: ¿no es $V(X)=0?$

No, en realidad $V(X)$ es una variable aleatoria. Permítanme sugerirles que reflexionen sobre la siguiente prueba, teniendo en cuenta las partes que son variables aleatorias y las que son deterministas.

Por definición, para todo número real $x$ , $V(x)=E(X^2-2xX+x^2)$ Es decir, $V$ es una función polinómica de grado $2$ definido por $$V(x)=E(X^2)-2E(X)x+x^2.$$ Así, $V(X)=E(X^2)-2E(X)X+X^2$ y finalmente, utilizando la linealidad de la expectativa, $$E(V(X))=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(X^2)=2\sigma^2.$$ Ejercicio: Demostrar que $E(V(X))=E((X-Y)^2)$ , donde $Y$ es independiente de $X$ y tiene la misma distribución.