La incertidumbre aproximada en $r$

Question

El volumen de un cilindro está dada por la expresión

$V=\pi r^2 h$

Las incertidumbres de $V$ $h$ son como se muestra a continuación

$\begin{align} V&\pm 7\%\\ h&\pm 3\% \end{align}$

¿Cuál es la incertidumbre en $r$?

Ahora, la respuesta obvia sería $2\%$, de $$\frac{dV}{V}=\frac{dh}{h}+2\frac{dr}{r}$$

Sin embargo, la reorganización a $r^2=\frac{V}{\pi h}$ da $$2\frac{dr}{r}=\frac{dV}{V}+\frac{dh}{h}$$ que da una respuesta diferente de $5\%$. Por lo tanto, simplemente cambiando la fórmula, obtenemos diferentes valores de la incertidumbre en la $r$.

¿Cómo se puede explicar esto?

(El esquema de marca de las listas de $5\%$ como la respuesta correcta)

Answer 1

Estás confuso variables independientes y dependientes. Al propagarse a partir de las incertidumbres en la $x_{i}$ algunos $f(x_{1},x_{2}...)$, la fórmula $\delta f(x_{1}...)=\sum \left|\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|\delta x_{i}$ asume que cada una de las $x_{i}$ es una de forma independiente variable medida y que $f$ es una variable dependiente a ser calculado a partir de la $x_{i}$.

En el ejemplo que usted da, usted tiene dos mediciones independientes de $V$ $h$ y se espera que para calcular la incertidumbre en $r$. Así, el uso de la fórmula anterior, es necesario escribir $r$ como una variable dependiente de $V$$h$. Por lo tanto, sólo es correcta para resolver por $r$ primero, y luego calcular la incertidumbre.

Answer 2

Este debe ser un comentario a Jerry Schirmer la respuesta correcta.

Las soluciones que dan a resolver los diferentes problemas.

En el primer cálculo de la medida V con su incertidumbre $\Delta V$, usted sabe que depende de r y h, usted sabe que la incertidumbre que se tiene en la medición de la h, $\Delta h$, por lo que se infiere la incertidumbre que se había asociado con la medición de la r, $\Delta r$.

En el segundo cálculo se desea medir la r de V y h. Conocer las incertidumbres en V y h a predecir la incertidumbre que se tiene en r.

Answer 3

Jerry Schirmer del derecho sobre el por qué de la solución para $r$ primera es el procedimiento correcto. Una manera de ilustrar esto es el aviso de que con el otro procedimiento, la incertidumbre puede ser negativo, que no puede estar a la derecha.

Pero la principal cosa que yo quería señalar es que, si las medidas de $V$ $h$ son independientes, y si los "errores" de la media de las desviaciones estándar como de costumbre, a continuación, el procedimiento correcto es añadir los errores en cuadratura (es decir, agregar las plazas y tomar la raíz cuadrada): $$ {\delta r\sobre r}={1\over 2}\sqrt{\left(\delta V\más de V\right)^2+\left(\delta h\sobre h\right)^2}. $$ Ver, por ejemplo, cualquiera de los primeros éxitos de Google para "propagación de errores".

Answer 4

Su primera fórmula es correcta, pero parece que sustituido en el firmado incorrectamente el valor de (dh/h). La segunda fórmula es la falta de un cambio de signo para el (dh/h) plazo.

En la primera ecuación, sustituyendo, para obtener el MÁXIMO (dr/r) --->

+7% = (-3%) + (2 x (+5%)) -O bien- -7% = (+3%) + (2 x (-5%))

Así, el texto es correcta: +/-5% (aproximado) la incertidumbre de r.

Si usted resolver este problema de manera algebraica, usted encontrará que el (corregido) ecuaciones diferenciales se construye da una muy cerca, pero no una respuesta exacta. La correcta incertidumbre para r es algo así como + SQRT(1.07/0,97) y - SQRT(0.93/1.03) = +5.0282% / -4.9783%. Esto es debido a que el diferencial de eqns son válidos sólo para la infinitesimal deltas; pero estamos usando deltas en el orden de +/-5% (casi infinitesimal).

Answer 5

Voy a utilizar dos formas para obtener el uncertainity en r
1 - método muy simple: la 'aritmética de intervalos, en el de Euler paquete de matemáticas (gratis)
2 - derivar la fórmula de dr(V,h, dV,dh)
Ambas respuestas : 5% (para cualquier valor de V o h que yo elija para V y h)

// 'using interval arithmetic'    
>dV=0.07 dh=0.03         // deltas  
>V=1000 h=40             //arbitrary choosen values  
>r0=sqrt(1/pi*V/h)       //central value for r    
 2.82094791774  
>r=sqrt(1/pi*((V±V*dV)/(h±h*dh))) //interval values for r   
 ~2.6,3~                          //    from 2.6 to 3  
>(r-r0)  
 ~-0.14,0.14~  
>(r-r0)/r0                           
 **~-0.05,0.05~                     // 5% for dr/r0 for any V, h**  

//calc dr(V,h, dV,dh) (verResistance_measurement Ejemplo y la adaptación de los derivados)

dr=1/2/sqrt(pi)*sqrt(dV^2/V/h+dh^2*V/h^3)
0.00106245302667
1-(r-dr)/r0
~-0.05,0.05~ // el resultado es de nuevo el 5%