Clasificación de todas las clases de GACION de $GL_2(\mathbb{R})$, $GL_2(\mathbb{Q})$.

Question

Dar una clasificación de todas las clases de GACION en los siguientes grupos.

1. $GL_2(\mathbb{R})$

2. $GL_2(\mathbb{Q})$

Mi progreso hasta ahora. Si se divide el polinomio característico, la matriz será similar a su forma canónica de Jordan, entonces hay casos donde no. En $\mathbb{R}$, es a causa de raíces imaginarias, en $\mathbb{Q}$ también por raíces irracionales. Pero no sé qué hacer. ¿Podría alguien ayudar?

Answer 1

Su casi hecho. Si $A\in GL_2(\mathbb F)$ tiene un autovector con autovalor $\lambda\in\mathbb F$, entonces cualquiera de las $A\sim\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$ (lo que le da una clase conjugacy por elemento de $\mathbb F$) o $A\sim\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda'\end{pmatrix}$ (lo que le da una clase conjugacy por desordenada(!) par $\{\lambda,\lambda'\}$ no necesariamente distintos elementos de $\mathbb F$).

Sigue siendo el caso de que $A$ no tiene vectores propios. A continuación, mediante la selección de cualquier vector distinto de cero $v_1$ como primer vector de la base y $v_2=Av_1$ como segunda (si fueran linealmente dependientes, entonces $v_1$ sería autovector). con respecto a esta base $A$ obtiene la forma $A\sim\begin{pmatrix}0&-\det A\\1&\operatorname{tr}A\end{pmatrix}$. Aquí tenemos una clase por cada polinomio cuadrático $X^2-\operatorname{tr}A \cdot X+\det A$ con ninguna raíz en $\mathbb F$, es decir, para cada par $(p,q)\in\mathbb F^2$ de manera tal que el discriminante $p^2-4q$ no es un cuadrado en $\mathbb F$.