¿Los tipos de convergencia preservar esta propiedad?

Question

Decir, tenemos una secuencia de variables aleatorias con $X_n \geq 0$ en casi todas partes. Cuál de los siguientes tipos de convergencia:

1. casi en todas partes: $X_n \xrightarrow{a.e.} X$
2. en probabilidad: $X_n \xrightarrow{\mathbb{P}} X$
3. en la distribución: $X_n \xrightarrow{d} X$

preservar esta propiedad? En otras palabras, lo que nos da $P(X<0)=0$?

El primer caso es fácil, ya que la unión de null establece que es nulo conjunto. Pero tengo problemas de demostrar (o refutar) la segunda y la tercera.

Todas las sugerencias son enormemente apreciados.

Edit. Mi intento:

Para 2: he tratado de introducir $X_n$ $\{X<0 \}$con el fin de obtener algo parecido a $\{|X_n-X|>\varepsilon \}$, pero fue en vano.

3: $P(X<0)=0$ parece ser equivalente con $\forall \varepsilon>0: P(X \leq -\varepsilon)=0$. De $X_n \xrightarrow{d} X$ y si asumimos que $F$ es continua en a $-\varepsilon$ (¿por qué?), obtendríamos $F_n(-\varepsilon) \xrightarrow{n\to \infty} F(-\varepsilon)$ donde $F_n(-\varepsilon)$ son cero para todos los $n$.

Answer 1

Sugerencias:

1. La convergencia en probabilidad: tenga en cuenta que $$\begin{align*} \mathbb{P}(X<- \varepsilon) &= \mathbb{P}(X < - \varepsilon, |X_n-X|>\varepsilon/2) + \mathbb{P}(X<-\varepsilon,|X_n-X| \leq \varepsilon/2) \\ &\leq \mathbb{P}(|X_n-X|>\varepsilon/2)+ \mathbb{P}(X_n<-\varepsilon/2) \end{align*}$$ for all $\varepsilon>0$.
2. La convergencia en distribución: Recordar que la función de distribución de $F(x) := \mathbb{P}(X \leq x)$ es una monotonía de la función. Esto implica en particular que $F$ tiene en la mayoría de los contables muchas discontinuidades (ver esta pregunta de una prueba). En consecuencia, existe un subconjunto denso $C$ $(-\infty,0)$ tal que $F$ es continua en cualquier $x \in C$. Ahora usted puede solicitar su argumentación.