Encontrar el valor máximo de una función de $x$ para un rango dado de valores de $x$

Question

¿Cuál es la forma más eficiente y razonable para encontrar el valor máximo de una función de $x$ dentro de un rango dado de valores de $x$?

Por ejemplo, dada la función $f(x)=3\sin(x)+0.01x^2$, cómo puedo encontrar el máximo entre $x=0$y $x=37$, inclusive. Realmente no estoy buscando la respuesta concreta a esto, pero el principio general que puede ser utilizado para cualquier ecuación. Me parece que han olvidado cómo hacerlo.

Answer 1

Tomar la derivada $f^\prime$ y encontrar los puntos de $x$ donde es cero: $f^\prime (x) \stackrel{!}{=} 0$

$f^\prime (x)$ es la pendiente en $x$. Si es cero, significa que usted ha encontrado una a un mínimo, un máximo o un punto de silla. Usted no está interesado en los puntos de silla a pesar de que lo quieres comprobar que los puntos donde se $f^\prime$ es cero también tienen la propiedad de que $f^{\prime \prime}$ es distinto de cero. $f^{\prime \prime}$ te da una medida de la "curvatura" de $f$ en ese punto. Puntos de silla son horizontales por lo tanto tienen un $f^{\prime \prime}$ igual a cero.

Editar Como se señaló en el comentario de Ronald, $f^{\prime \prime} = 0$ no es una condición suficiente para estar en un punto de silla. Hay funciones que satisfacen esta condición en los puntos donde no hay un punto de silla, como por ejemplo,$f(x) = x^4$$0$. En general, usted tiene que mirar en la primera derivada que es distinto de cero, esto se llama "de orden superior derivadas de la prueba".

Tenga en cuenta que por ejemplo si $f$ es una función como $f(x) = x$, entonces no tendrá ningún puntos donde $f^\prime$ es cero y, sin embargo, va a alcanzar un máximo en el extremo derecho de su intervalo. Para detectar este caso, usted simplemente tiene que recordar también comprobar $f(a)$ $f(b)$ si su función está definida en $[a,b]$.

Para esto usted necesita $f$ a ser diferenciable. Por suerte, su ejemplo y, probablemente, muchas de las funciones que tendrás que buscar minutos y maxs será diferenciable.

Answer 2

Para una función diferenciable, puede tomar el control derivado, todos los puntos donde es cero (o hacer una segunda prueba derivada) y verificar los extremos del intervalo. En este caso particular, no puede resolver analíticamente para ceros de la derivada. Numéricamente puede buscar para ceros de la derivada o máximos de la función.

Answer 3

Creo que la pregunta no ha sido respondida.

E. g. si usted toma la función x(x-2)^2 e imponer la restricción de que x está entre 0 y 3, a continuación, el cálculo de estilo máxima por la diferenciación está en (0.67,1.19), pero el verdadero máximo dentro del rango es (3,3) - simplemente porque la función es más grande en ese momento, aunque el gradiente no es cero.

Por desgracia - no sé la respuesta general a esta pregunta - que vinieron aquí en busca de encontrar la respuesta!

Oh. Soy tan estúpido: se realizó después de que el mayor valor debe ser el cálculo de la máxima, o en un extremo de la gama. No existen otras posibilidades - de ahí que la pregunta es bastante simple en el final.