¿Por qué se define la exponenciación como $x^y=e^{\ln(x)\cdot y}$?

Question

Hay muchas curvas que se extienden a la exponenciación entero dominios a más grande, así que ¿por qué fue éste elegido?

Answer 1

Es económico. Se define la exponenciación a una base, decir $e$, rigurosamente y reduce otros exponentiation para ese caso.

Editar: La razón de por qué matemáticos eligieron justo $e$ $42$ para ello tiene razones que va manera más allá del alcance de la pregunta de OP.

Answer 2

Creo que sólo hay una función $f(x, y)$, $f: \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la satisfacción de

1. $f$ es continua,
2. $f(x, 1) = x$,
3. $f(x, y + z) = f(x, y) f(x, z)$,

y que es $f(x, y) = x^y = e^{\ln(x) y}$ donde $e^x$ está definido por la función exponencial. Tenga en cuenta que 2) y 3) fijar los valores de la función en rational $y$ (por ejemplo, se puede ver que $f(x, 1/3) = \sqrt[3]{x}$, por ejemplo) con denominador impar en términos mínimos, y 1) fija en el otro racional y lo irracional en $y$. 3) es el exponente de la ley de $x^{n + m} = x^n x^m$ para los exponentes de números enteros supone para celebrar real.

Answer 3

Porque tiene algunas propiedades útiles. Por ejemplo

$$ \frac{d}{dx} e^x = e^x $$

pero con otra base de necesitar una constante.

Una analogía es el uso de radianes en lugar de grados una vez que obtenga más avanzada en la trigonometría. Aquí de nuevo

$$ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $$

al $x$ está en radianes. En otras representaciones que necesita una constante.

A diferencia de la radianes caso, $e$ tiene otras propiedades muy especiales que son a la vez práctico y digno de estudio por su propio bien.

Por ejemplo, $e^x$ tiene una muy simple serie infinita de representación: $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots $$

donde $n!$ es factorial($n$).

y que existe una relación entre el $e$ y las funciones trigonométricas $\sin$$\cos$:

$$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $$

donde $i$ es el número imaginario $\sqrt{-1}$.

Para empezar a usar $e$ tiene algunas ventajas prácticas al principio, pero a medida que van más allá, se convierte en fundamental para muchas ramas de las matemáticas.

Answer 4

Lo que quieres es ser continua tanto en $x^y$ y % que $x$ $y$y coincidiendo con el % (rama real de) $x^y$ racional $y$. Por simplicidad, se aplican logaritmos naturales a las ecuaciones pertinentes.

Answer 5

$f(x)=e^{\ln(x)\cdot y}$ es la única forma natural exponentiation de satisfacción:

\begin{equation}\tag{1}f(x,0) = 1\end{equation}

\begin{equation}\tag{2} x\cdot f(x,y) = f(x,y+1)\end{equation}

y differentiability:\begin{equation}\tag{3}\frac{d}{dx}f(x,y)=y\cdot f(x,y-1)\end{equation}