Ejemplos de anillos de valoración noetherianos

Question

Para los anillos de valoración conozco ejemplos que son noetherianos.

Sé que hay buenos anillos de valoración estándar noetherianos. ¿Puede alguien dar algunos ejemplos de anillos de este tipo?

Tengo muchas ganas de saber. Gracias.

Answer 1

Considere la torre de dominios

$$ K[x]\subset K[x^{1/2}]\subset \cdots \subset K[x^{1/2^k}]\subset\cdots $$

donde $K$ es un campo y $x$ es trascendental sobre $K$ . Cada anillo de la cadena es un anillo polinómico en una variable sobre $K$ . Así, las localizaciones $O_k:=K[x^{1/2^k}]_{P_k}$ , donde $P_k$ es el ideal primo generado por $x^{1/2^k}$ son anillos de valoración discretos. Dado que $P_{k+1}\cap K[x^{1/2^k}]=P_k$ uno tiene $O_k\subset O_{k+1}$ y $M_{k+1}\cap O_k =M_k$ para los ideales máximos $M_k$ de los anillos $O_k$ .

Ahora $O:=\bigcup\limits_k O_k$ es un anillo de valoración no etereo del campo $K(x^{1/2^k} : k\in\mathbb{N})$ . El grupo de valores de una valoración asociada es de orden isomorfo al subgrupo $\{z/2^k : z\in\mathbb{Z}, k\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, este ejemplo da lugar a un anillo de valoración no etereo de dimensión Krull $1$ .

Answer 2

Anillos de valoración que tienen dimensión $\geq 2$ no son noeterianos. La dimensión de un anillo de valoración es igual al rango de su grupo de valor.

Para obtener un ejemplo sencillo de un anillo de valoración que tiene dimensión $2$ , toma $R = k[x,y]$ , donde $k$ es un campo. Definir la valoración estándar $v: k(x,y) \rightarrow \mathbb{Z}^2$ con $v(x) = (1,0) \leq v(y) = (0,1)$ y tomar el valor de un polinomio como los valores mínimos entre los de sus monomios. El grupo de valores es $\mathbb{Z}^2$ que tiene rango $2$ . Por tanto, el anillo de valoración no es noeteriano. Este ejemplo es "estándar" en el sentido de que se encuentra con más frecuencia. Sin embargo, el ejemplo de Hagen es más interesante.

Answer 3

Para obtener un anillo de valoración noetheriano, tomemos $\mathbb{Z}^2$ con el orden lexicográfico. Definir la valoración $v:k(x,y)^* \to \mathbb{Z}^2$ como sigue: para cualquier $a \in k^*$ y $0 \le n,m \in \mathbb{Z}$ set $v(ax^ny^m)=(n,m)$ . Para un polinomio $\: f=\sum f_i \in k[x,y]^*$ set $v(f)= \inf \{v(f_0),...,v(f_d)\} $ donde el $f_i$ son monomios distintos. Finalmente para una función racional $f \in k(x,y)^*$ hay $ g,h \in k[x,y]$ tal que $f= \frac{g}{h}$ set $v(f)= v(g)-v(h)$ . El anillo de valoración correspondiente $R_v= \{f \:|\: v(f) \ge 0\}\cup \{0\}$ contiene $k[x,y]$ pero también contiene $xy^{-1}$ desde $(0,0) < (1,-1)$ . De hecho $xy^n \in R_v$ para cualquier $n \in \mathbb{Z}$ . De ello se desprende que $R_v=k[x,y,x/y,x/y^2,x/y^3...]_{(y)}$ .

Answer 4

Este tema se ha colado en la primera página por alguna razón, así que pido disculpas por resucitarlo. Pero creo que hay un ejemplo muy natural. De hecho, aparece todo el tiempo en la "naturaleza". A saber, consideremos $\mathbb{Q}_p$ con la valoración estándar $v_p$ . Entonces, hay una extensión única de esta valoración a $\overline{\mathbb{Q}_p}$ . El grupo de valores es $\mathbb{Q}$ y, por lo tanto, si $\mathcal{O}$ es su anillo de valoración (es sólo el cierre integral $\overline{\mathbb{Z}_p}$ de $\mathbb{Z}_p$ en $\mathbb{Q}_p$ ), entonces $\mathcal{O}$ es un anillo de valoración noetheriano.

Otros ejemplos que surgen son $\mathcal{O}_{\mathbb{C}_p}$ el anillo de valoración del $p$ -números complejos radicales.

Answer 5

Dejemos que $(K, \lvert\cdot\rvert)$ sea un campo completo algebraicamente cerrado con un valor absoluto no trivial. Sea $R$ sea su anillo de valoración y $\mathfrak{m}$ el ideal máximo de $R$ . Dado que cada elemento de $K$ tiene una raíz cuadrada en $K$ Por lo tanto $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$ . Por Nakayama, $R$ no puede ser noetheriano. Tales campos $K$ existe por supuesto. Comience con cualquier $K$ con un valor absoluto no trivial. Completarlo, tomar el cierre algebraico de la terminación, y completarlo. Así, por ejemplo, el anillo de valoración de $\mathbb{C}_p$ con $p$ un número primo, sería un ejemplo de ello.