Variación de distancia de dos variables al azar normales % total $X_t \sim \mathcal{N}(0,s)$y $X_s \sim \mathcal{N}(0,t)$

Question

Necesito demostrar que el total de la variación de la distancia entre dos normales variables aleatorias $X_t \sim \mathcal{N}(0,s)$ $X_s \sim \mathcal{N}(0,t)$ converge a $0$ al $s \nearrow t$.

Sabemos que $$||X_t - X_s||_{\text{TV}}= \sup_{||f||_\infty \leq 1} \mathbb{E} (f(X_t)-f(X_s))$$ or that $$||X_t - X_s|| = \int_{-\infty}^\infty \bigg\vert\frac{e^{-\frac{x^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t}} - \frac{e^{-\frac{x^2}{2s}}}{\sqrt{2\pi s}} \bigg\vert dx$$ Yo trate de hacer dos trabajos con la segunda identidad, pero no pude obtener algo útil. Por ejemplo, podemos usar ese $s < t$ y definen $$x(s,t) = \sqrt{\frac{st}{t-s}\log\left(\frac{t}{s}\right)} $$ y, a continuación, $$||X_t - X_s|| = \int_{-\infty}^{-x(s,t)} \left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t}} - \frac{e^{\frac{-x^2}{2s}}}{\sqrt{2\pi s}} \right)dx + \int_{-x(s,t)}^{x(s,t)}\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2s}}}{\sqrt{2\pi s}} - \frac{e^{-\frac{x^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t}} \right)dx + \int_{x(s,t)}^{\infty} \left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t}} - \frac{e^{\frac{-x^2}{2s}}}{\sqrt{2\pi s}} \right)dx$$. A continuación, por la simetría obtenemos $$||X_t -X_s||= 2\left( \int_{x(s,t)}^{\infty} \left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t}} - \frac{e^{\frac{-x^2}{2s}}}{\sqrt{2\pi s}} \right)dx + \int_0^{x(s,t)}\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2s}}}{\sqrt{2\pi s}} - \frac{e^{-\frac{x^2}{2t}}}{\sqrt{2\pi t}} \right)dx \right).$$ Quiero usar este y algún tipo de convergencia de la propiedad de la integral para la conclusión, pero no sé cómo hacerlo.

Tal vez otro enfoque es adecuado para este problema.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Que $g_t(x)$ denotan el PDF de $X_t$ % de punto $x$, entonces, por la homogeneidad, $\|X_t-X_s\|_{TV}=4d\left(\frac{s}t\right)$ donde cada $s$ $(0,1)$, $$d(s)=\int_{x(s)}^\infty (g_1(x)-g_s(x))\,\mathrm dx,$$ and $ x(s)$ is the point where the two densities coincide, that is, $x(s)$ is your $x(s,1) $. Equivalently, once again by homogeneity, $% $ $d(s)=\int_{x(s)}^\infty g_1(x)\,\mathrm dx-\int_{x(s)/\sqrt{s}}^\infty g_1(x)\,\mathrm dx=\int_{x(s)}^{x(s)/\sqrt{s}}g_1(x)\,\mathrm dx.$ uniformemente limita el PDF $g_1$ $g_1(0)$y $x(s)\to1$ cuando $s\to1$, $s\lt1$, por lo tanto, $$d(s)\leqslant g_1(0)x(s)\left(\frac1{\sqrt{s}}-1\right)\to0.$ $