Salida de un beamsplitter con fotón número (Fock) estado de entradas

Question

Dado un beamsplitter dibujado a continuación, donde $\hat{a}$ $\hat{b}$ son de entrada modal de la aniquilación de los operadores, transmisividad es $\tau\in[0,1]$, y la salida de modal aniquilación de los operadores se $\hat{c}=\sqrt{\tau}\hat{a}+\sqrt{1-\tau}\hat{b}$$\hat{d}=\sqrt{1-\tau}\hat{a}+\sqrt{\tau}\hat{b}$, suponga que las entradas $\hat{a}$ $\hat{b}$ son en número de fotones (Fock) estados $|m\rangle$$|n\rangle$, respectivamente. ¿Cuáles son los estados de las salidas $\hat{c}$$\hat{d}$?

Entiendo que si una de las entradas es de un vacío de estado $|0\rangle$, entonces los estados de salida son binomial mezclas de número de fotones de los estados, con la "probabilidad de éxito" parámetro " ser o $\tau$ o $1-\tau$ y el "número de ensayos" parámetro el número de fotones $n$ de los no-entrada de vacío (por lo tanto, si $|0\rangle$ fue de entrada en el modo de $\hat{a}$ $|n\rangle$ modo $\hat{b}$, entonces el modo de $\hat{c}$ es en el estado $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(1-\tau)^k\tau^{n-k}|k\rangle$ e modo $\hat{d}$ es en el estado $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\tau^k(1-\tau)^{n-k}|k\rangle$). Me pregunto cómo esto se generaliza a la entrada de los modos de ser en el no-vacío de los estados.

Answer 1

La transformación de las ecuaciones especificadas no son correctos ya que no respetan unitarity. La condición de unitarity (o de conservación de la energía) por la acción del divisor de haz, da las siguientes transformaciones:

$\hat{c}=\sqrt{\tau}\hat{a}+\sqrt{1-\tau}\hat{b}$

$\hat{d}=\sqrt{1-\tau}\hat{a}-\sqrt{\tau}\hat{b}$

El signo menos en la segunda ecuación se asegura de que unitarity es respetado.

Por razones que serán evidentes pronto, nos vamos a invertir las siguientes ecuaciones para obtener el modo de entrada de los operadores de $\hat{a}$ $\hat{b}$ en términos del modo de salida de los operadores de $\hat{c}$$\hat{d}$. Como era de esperar de los argumentos de la reversibilidad, obtenemos:

$\hat{a}=\sqrt{\tau}\hat{c}+\sqrt{1-\tau}\hat{d}$

$\hat{b}=\sqrt{1-\tau}\hat{c}-\sqrt{\tau}\hat{d}$

Es útil mirar este problema en la imagen de Heisenberg donde la acción del divisor de haz está enteramente en el modo de creación y aniquilación de los operadores de campo inicial del estado que se asume como de vacío.

Desde la entrada de los estados que se están considerando son los Fock estados $|m\rangle_{a}$ $|n\rangle_{b}$ el total inicial estado de campo también puede ser escrito como:

${(a^{\dagger})^m(b^{\dagger})^n |0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}}$

Ahora sustituimos las expresiones anteriores para $\hat{a}$ $\hat{b}$ en términos de $\hat{c}$ $\hat{d}$ dada por el divisor de haz transformaciones. El campo de estado después de que el modo de transformaciones es,

$(\sqrt{\tau}\hat{c}^{\dagger}+\sqrt{1-\tau}\hat{d}^{\dagger})^m(\sqrt{1-\tau}\hat{c}^{\dagger}-\sqrt{\tau}\hat{d}^{\dagger})^n|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

Así, los estados de salida de un divisor de haz de transformación en la entrada de Fock los estados se han obtenido.

Como Peter Shor señalado correctamente, una hermosa consecuencia de estas transformaciones es el de Hong-Ou-Mandel efecto. Se dice que cuando un solo fotón de estados incidente, al mismo tiempo, en los puertos de entrada del divisor de haz, ambos fotones emerge desde el mismo puerto de salida.

Esto puede ser verificado fácilmente a partir de la ecuación que hemos obtenido por poner $m=n=1$. También para mayor comodidad pongamos $\tau=0.5$ i.e el divisor de haz es $50:50$ proporción. La salida de campo del estado es,

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{c}^{\dagger}+\hat{d}^{\dagger})\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{c}^{\dagger}-\hat{d}^{\dagger})|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

$=\frac{1}{2}\big((\hat{c}^{\dagger})^2-(\hat{d}^{\dagger})^2\big)|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(|2\rangle_{c}|0\rangle_{d}-|0\rangle_{c}|2\rangle_{d})$

Por lo tanto, vemos claramente que cualquiera de los dos fotones emerge desde el puerto $C$ o ambos emergen desde el puerto $D$. Tal estado se conoce como una de dos fotones de MEDIODÍA estado (el estado parece que cuando N=2) y este efecto es de suma importancia en el lineal de óptica cuántica de la computación esquemas.