Integración Hermite de Gauss de 1/(1+x^2)

Question

Estoy tratando de aprender la integración de Gauss Hermite y estaba tratando de calcular manualmente el valor de la integral de $\frac{1}{1+x^2}$ de $-\infty$ à $+\infty$ La respuesta exacta es simplemente $\pi$ ( $\approx$ 3.14). Pero sigo obteniendo respuestas que están un poco lejos incluso con 5 nodos. Abajo están mis cálculos, podría alguien por favor señalar algo obviamente incorrecto o puede ser el método es más preciso para cierto tipo de funciones.

Edición: incluso con 100 nodos, sólo me acerqué a 2,93.

Tengo pesas de - http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm

Answer 1

Si miras esta descripción de la cuadratura de Hermite-Gauss en MathWorld su término de error es $$ \frac{n!\sqrt\pi}{2^n(2n)!}f^{(2n)}(\xi), $$ donde $\xi$ es algún punto de la región de integración.

Al integrar su función $$ \frac{e^{x^2}}{1+x^2}, \qquad I = \int \frac{e^{x^2}}{1+x^2}W(x)\,dx, \quad W(x) = e^{-x^2},$$ su $2n$ -derivada es extremadamente grande, debido a la $e^{x^2}$ término que has incluido para anular la función de ponderación $W(x)=e^{-x^2}$ . Otra forma de ver esto es que con estos polinomios interpolantes y esta función de peso, la función $(1+x^2)^{-1}$ no es fácil de aproximar: no decae lo suficientemente rápido como $x\to\pm\infty$ para que la función de ponderación tenga sentido. Hay un desajuste entre la rapidez con la que la función de ponderación llega a cero y tu función.

Compare esto, por ejemplo, con la integración de $$ \int\frac{e^{-x^2}}{1+x^2}\,dx = \int \frac{1}{1+x^2}\,W(x)\,dx, $$ donde el integrando $(1+x^2)^{-1}$ no lo hace tienen unos derivados de tan rápido crecimiento, y para $n=5$ la integral aproximada es $1.36343\ldots$ , que se desvía sólo en $1.5\%$ .