El debate ha sido muy interesante! Escribí acerca de la notación de Leibniz en mi Tesis de Licenciatura en 2010 de la lectura a través de las principales partes de la Bos de 1974 del Doctorado en los diferenciales de orden superior en la Leibniziana de cálculo. Creo que Bos está mal en un punto. Suponiendo una variable en el Bos llamado progresión aritmética no es necesario - sólo conveniente! Voy a responder a la de abajo.
Leibniz del diferenciales
Leibniz desarrolló su diferenciales, en primer lugar, a partir de una intuición geométrica - a pesar de que él volvió a examinar la realidad de esta idea una y otra vez. En mis palabras, esta idea puede resumirse como:
Una curva puede ser pensado como un polígono de infinitos infinitamente pequeño lados $ds$. Cada una de las $ds$ es un infinitesimalmente pequeño segmento de línea recta que está en la parte de la curva y (paradójicamente) la tangente a ella en el mismo tiempo. La recopilación de la $ds$ a un segmento de línea recta $s=\int ds$ esto constituirá la longitud de la curva. Expresan una curva por una relación geométrica entre las coordenadas de los segmentos de línea $x$ $y$ se podría considerar cada una de las $ds$ como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con las piernas $dx$$dy$, de modo que $dx^2+dy^2=ds^2$.
Esto es sólo para decir que $dx,dy$ $ds$ fue pensado como geométricas y mutuamente dependend entidades - nunca se consideró sólo los números como podemos permitir que las funciones de hoy en día.
Sólo destacar cómo geométrica: la función de hoy en día se expresa por la fórmula $f(x)=x^2$ sería algo como $a\cdot y=x\cdot x$ donde $a,y$ $x$ donde consideran a todos los segmentos de la línea, de modo que ambos lados de la ecuación constituiría un área en Leibniz.
La curva de nivel ejemplo
En las fracciones $\frac{\partial f}{dx}$ $\frac{\partial f}{dy}$ $\partial f$'s en las dos fracciones que no están relacionados porque:
- No tenemos $\partial f,\partial x$ $\partial y$ mutuamente dependend entidades geométricas debido a la razón por la que ya dimos el primer $\partial f$ es el cambio en $f$ cuando se mueve en el $x$-dirección del vector $(dx,0)$, mientras que el segundo $\partial f$ corresponde a moverse por el vector $(0,dy)$. Por lo que son desiguales, aunque infinitamente pequeño ...
- Aunque hemos tenido algunos $df$ mutuamente dependend a $dx$ $dy$ esto, naturalmente, tiene que ser el cambio en $f$ cuando viajes el vector $(dx,dy)$ y por lo tanto diferente de la $\partial f$'s descrito antes.
La regla de la cadena ejemplo
Ya que consideramos que los diferenciales de orden superior el trabajo de Bos es relavant aquí: Había habido tal cosa como un derivado $z=\frac{dy}{dv}$ en Leibniz del tiempo, el diferencial de la que debería leer
$$
dz=d\frac{dy}{dv}=\frac{dy+ddy}{dv+ddv}-\frac{dy}{dv}=\frac{dv\ ddy-dy\ ddv}{dv(dv+ddv)}
$$
Ahora, desde la $ddv$ es infinitesimalmente pequeño en comparación con $dv$ podemos saltar $ddv$ en el soporte y simplemente escribir $dv$ en lugar de $(dv+ddv)$. Por lo tanto, tenemos
$$
\frac{dz}{dv}=\frac{dv\ ddy-dy\ ddv}{dv^3}=\frac{ddy}{dv^2}-\frac{dy\ ddv}{dv^3}
$$
Tenga en cuenta que $ddy$ también puede ser escrito como $d^2 y$. Así que el segundo orden derivados de $y$ con respecto al $v$ es igual a $\frac{d^2 y}{dv^2}$ menos algún extraño fracción $\frac{dy\ d^2 v}{dv^3}$ que sólo puede ser descartado si es cero. Esto sólo ocurre si $dy=0$ o $d^2 v=0$. La elección de $d^2 v$ idéntico a cero hace el truco y renders $dv$ constante.
Supongamos ahora que $d^2 v\equiv 0$. Entonces para el ejemplo de $y=u=v^2$ vemos que $du=2v\ dv$ y, además, $ddu=2v\ ddv+2\ dv^2=2\ dv^2$ donde la última igualdad se debe a nuestra elección que $ddv$ es idéntica a cero. Por lo tanto vemos que la derivada de $w=\frac{dy}{du}$ será dado como
$$
\frac{ps}{du}=\frac{d^2 y}{du^2}-\frac{dy\ ddu}{du^3}
$$
donde la última fracción está lejos de ser cero, como puede ser reescrito - tomando nota de que $y=u\implies dy=du$ y $\frac{dv}{du}=\frac{1}{2v}$ - para obtener
$$
\requieren{cancel}
\frac{\cancelar{dy}\ ddu}{\cancelar{du}\cdot du^2}=\frac{2\ dv^2}{du^2}=\frac{1}{2^2}
$$
Esto muestra que, asumiendo $\frac{d^2 y}{dv^2}$ a ser el de segundo orden derivados de $y=v^2$ con respecto al $v$ en el sentido moderno hace $\frac{d^2 y}{du^2}$ difieren por $\frac{1}{2v^2}$ de los de segundo orden derivados de $y=u$ con respecto al $u$. Ahora ya sabemos que $y=u$ tenemos $w=\frac{dy}{du}=1$ e lo $\frac{dw}{du}=0$. Por lo tanto, debemos tener
$$
\frac{d^2 y}{du^2}-\frac{1}{2^2}=0
$$
en este caso mostrando que $\frac{d^2 y}{du^2}=\frac{1}{2v^2}$. Así que con la elección de $y=u=v^2$ $ddv\equiv 0$ la ecuación
$$
\frac{d^2 y}{du^2}\cdot\left(\frac{du}{dv}\right)^2=\frac{d^2 y}{dv^2}
$$
puede ser verificados satisfactoriamente la aplicación de ese $\frac{du}{dv}=2v$ desde entonces tenemos
$$
\frac{1}{2^2}\cdot(2v)^2=2
$$
lo que es realmente cierto. Esto NO es una coincidencia!
Conclusión
Los cálculos muestran que Julian Rosen muy atractivo ejemplo de error en el método de la Leibniziana cálculo parece ser un malentendido acerca de lo que se entiende por los conceptos de $d^2 y$ y el oculto, pero importante, adicional variables$ddv$$ddu$. Esto proporciona detalles específicos con respecto a los comentarios formulados por los user72694 a continuación la respuesta de Julián.
Sin embargo, demostrando que la notación de Leibniz se nunca producir conclusiones falsas cuando se maneja correctamente es una historia completamente diferente. Este es supuestamente lo que Robinson logró hacer, pero debo admitir que no he leído y comprendido que la teoría de mí mismo.
Mi tesis de Licenciatura enfocado principalmente en la comprensión de cómo el método fue aplicado por Leibniz y sus contemporáneos. Tengo muchas veces el pensamiento acerca de los fundamentos, pero, principalmente, de un 17 en la perspectiva del siglo.
Comentario en Bos del trabajo
En la página 31 de su tesis, Bos argumenta que el límite
$$
\lim_{h_1,h_2\rightarrow 0}\frac{[f(x+h_1+h_2)-f(x+h_1)]-[f(x+h_1)-f(x)]}{h_1 h_2}
$$
sólo existe si $h_1=h_2$, lo que, a continuación, hace que este límite de la igualdad de $f''(x)$. Pero que en realidad no es del todo cierto. El $x$-diferencias $h_1$ $h_2$ no tiene que ser igual. Es suficiente para que ellos convergen a ser igual, que es una sutil, pero importante, de la variación de la configuración. Debemos exigir que $h_1$ $h_2$ converge a cero en un mutuo dependend de la moda, de manera que
$$
\lim_{h_1,h_2\rightarrow 0}\frac{h_2}{h_1}=1
$$
Con esta configuración el límite de la fracción grande desde antes de que pudiera existir, pero no es necesario que la igualdad de $f''(x)$. Desde $h_1,h_2$ jugar el papel de $dx$'s esto equivale a que $dx_1\neq dx_2$, de modo que $ddx=dx_2-dx_1\neq 0$ a pesar de ser infinitamente menor que el $dx$'s.
Esto significa que, de hecho, es posible imitar la noción histórica de $dx$ ser constante (y por lo tanto $x$ en progresión aritmética) directamente por los modernos límites.
Extras con respecto a la OP respuesta
Está bastante en derecho de que los diferenciales pueden ser correctamente manipulados en la ecuación
$$
\frac{d^2}{dv^2}\big(y(u(v))\big)=y"(u(v))\cdot u'(v)^2+y'(u(v))\cdot u"(v)
$$
bajo el supuesto de que $ddv\equiv 0$.
Hay, sin embargo, en un sentido más obvio y menos restrictiva opción para salir de las progresiones de las tres variables $u,v$ $y$ no especificado, y, sin embargo, para conectar la notación de una manera significativa a los estándares modernos:
Introducir una cuarta variable $t$ en progresión aritmética (es decir,$ddt\equiv 0$). Uno podría pensar en él como una variable de tiempo, de modo que $u(t),v(t)$ $y(t)$ son coordinar las funciones de algunos vector de valores de la función. Entonces Julian Rosen de la ecuación se transforma a
$$
\frac{\left(\frac{d^2 y}{dt^2}\right)}{\left(\frac{du^2}{dt^2}\right)}\cdot\left(\frac{\left(\frac{du}{dt}\right)}{\left(\frac{dv}{dt}\right)}\right)^2=\frac{\left(\frac{d^2 y}{dt^2}\right)}{\left(\frac{dv^2}{dt^2}\right)}
$$
y desde $dt$ está en progresión aritmética $y''(t)=\frac{d^2 y}{dt^2}$, de modo que este puede ser escrito en notación moderna como
$$
\frac{y"(t)}{u'(t)^2}\cdot\left(\frac{u'(t)}{v'(t)}\right)^2=\frac{y"(t)}{v'(t)^2}
$$
que se comprueba fácilmente ser la correcta. Este es probablemente el más simple de la cuenta, pero sólo se utiliza , pero no dan un claro ejemplo de la necesidad de la elección de la progresión de las variables. Creo que mi primera cuenta de que mejor.
