La acción para $N=1$ supergravedad en un $4$ el espacio-tiempo es dimenions
$$ S= \int e\ \ izquierdo( R + \overline{\psi}_a \gamma^{abc} D_b \psi_c \right) $$ Aquí $R$ es el escalar de curvatura, $e=\det(e_{a\mu})$, e $e_{a\mu}$ es el marco en el campo. $\psi = \psi_{\mu} dx^{\mu}$ es un spinor con valores de un formulario. Los índices de $a,b\ldots = 0\ldots 3 $ son índices internos que transforman bajo el grupo de Lorentz. El campo marco de $e_{a\mu}$ puede ser utilizado para 'convertir' el espacio-tiempo de los índices de índices internos, y vice-versa. La gamma de matrices de obedecer $\gamma^a \gamma^b +\gamma^b \gamma^a = \eta^{ab} $, $\eta^{ab}$ 'métrico interno'. $\gamma^{ab\ldots z} = \gamma^{[a} \gamma^b \ldots \gamma^{z]} $ denota una antisymmetrised producto de matrices gamma. La derivada covariante es
$$ D \psi = d \psi + \frac{1}{2} \omega_{ab} \gamma^{ab} $$
Mi pregunta es la siguiente: El RS campo $\psi_{\mu}$ tiene un índice de espacio-tiempo y un spinor índice, sin embargo, en la acción anterior no es afín a la conexión de la parte en la derivada covariante. La contribución de la torsión de la parte libre de la conexión afín se desvanece porque es simétrica en dos índices que conseguir contratado con la antisymmetrised producto de matrices gamma. Pero que deja la contorsion parte. En el primer fin de formalismo, el giro de la conexión y el marco de campo son considerados como variables independientes, por lo que en general el giro de conexión puede tener de torsión. En el segundo orden, el formalismo, el spin conexión no es de torsión debido a la presencia de fermiones. Así que en cualquier caso la contorsion tensor es distinto de cero. Esto me lleva a creer que no tenerlo en la acción anterior significa que la acción no es invariante bajo diffeomorphisms.
En segundo lugar, porque la torsión no es, en general, cero, me parece que el RS acción debe ser en realidad dividida en dos piezas
$$ e\left( \overline{\psi}_a \gamma^{abc} D_b \psi_c - (D_b \overline{\psi}_a) \gamma^{abc} \psi_c \right) $$
Esto es debido a una compleja conjugación debe enviar a cada uno de esos términos para cada uno de los otros, de modo que la acción es real. Sin embargo, si sólo tiene uno de esos términos y la torsión es distinto de cero, al complejo conjugado usted tiene que utilizar la integración por partes para 'mover el covariante deriative para el otro lado", por lo que usted recoger tensor de torsión de las contribuciones de la derivada covariante de actuar en $e$, y la acción no es real.
Yo estaría muy agradecido si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre cualquiera de estos temas.
