Supose $f$ es creciente, acotada y continua en $[a,+\infty)$ .
Es $f$ ¿uniformemente continuo?
Creo que sí. ¿Cómo probarlo?
Mi idea es mostrar que existe $X$ , $f$ es uniformemente continua en $[X,+\infty)$ .
Cómo arreglar esto $X$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Desde $f$ es creciente y acotado, existe $l\in\mathbb R$ tal que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$ . Arreglar $\varepsilon>0$ ; hay $t_0>a$ de manera que si $x\geq t_0$ puis $|f(x)-l|\leq\varepsilon/2$ . Utilizando la continuidad de $f$ , obtenemos que $f$ es uniformemente continua en $[a,t_0+1]$ , por lo que hay un $\delta\in (0,1)$ de manera que si $a\leq x,y \leq t_0+1$ y $|x-y|\leq \delta$ puis $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon/2$ . Ahora, dejemos que $x,y\geq a$ tal que $|x-y|\leq \delta$ . Si $x,y\in [a,t_0]$ tenemos $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$ ; si $x, y>t_0$ puis $|f(x)-f(y)|\leq |f(x)-l|+|f(y)-l|\leq \varepsilon$ y si $x\leq t_0$ y $y>t_0$ puis $y\in [a,t_0+1]$ así que $|f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$ .
Matt
Puntos
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Sí, lo es. Deja que $\epsilon > 0$ Desde $f$ está acotado y es creciente, $\lim_{x\to\infty }f(x)$ existe; denotémoslo por $M$ . Elija $R\ge a$ para que $f(R) > M - \epsilon//2$ . Desde $f$ es continua en $[a, R]$ es uniformemente continua allí. Escoge $\delta > 0$ así que $|x - y|< \delta \implies |f(x - f(y)| < \epsilon/2$ .
I es una cuestión fácil ahora para argumentar que en toda la línea si $|x - y| < \delta\implies |f(x)-f(y)|< \epsilon.$
