Encuentra la décima derivada de$x^2e^x$

Question

Si%

encontrar%

No estoy familiarizado con hacer la expansión de la serie para esto y la solución que se me proporcionó no me ayudó en absoluto, ya que no se explicó. Creo que es "Regla Leibnitz Superior", pero no estoy seguro.

Podría diferenciar la función 10 veces, pero las soluciones utilizan la suma. ¿Cómo iba a hacer esto?

Answer 1

Sugerencia: La derivada de$P(x)e^x$ es$(P'(x)+P(x))e^x$.

Por lo tanto, básicamente, usted tiene que aplicar 10 veces la transformación$P \to P' + P$, lo cual no debería ser difícil con el polinomio$P(x)=x^2$:

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La última línea es la quinta derivada, con el factor$$x^2$ eliminado.

Ahora, una inducción le ayudará a demostrar que

ps

Answer 2

Sugerencia $\ \ f = (ax^2\!+bx+c)\,e^x\Rightarrow\, f' = (ax^2\!+(b+2a)x+c+b)\,e^x.\, $ Abreviando$f\mapsto f'$ as

ps

Lo iteramos$$(a,b,c)\ \mapsto\ (a, b+2a,c+b)$ times para obtener$n$ Buscando patrones en los primeros valores que tenemos

$$ \begin{eqnarray} f^{(1)} = (a,&&b+2a,&&c\, +\, b)\\ f^{(2)} = (a,&&b+4a,&&c+2b+2a)\\ f^{(3)} =(a,&&b+6a,&&c+3b+6a)\\ f^{(4)} = (a,&&b+8a,&&c+4b+12a)\\ \end {eqnarray} $$

Por lo tanto, el patrón parece ser$f^{(n)}.$

Esto se demuestra inmediatamente por inducción, siendo la etapa de inducción

$$ \begin{eqnarray} &&(a,&&b+2na,&&c+nb+n(n\!-\!1)a) &[\,= f^{(n)}\,]&\\ + &&(0,&&\quad\quad\ 2a,&&\quad\quad b+2na)\\ = &&(a,&&b+2(n\!+\!1)a,&&c+(n\!+\!1)b+(n\!+\!1)na)\ \ \ &[\,= f^{(n+1)}\,]&\end {eqnarray} $$

Por lo tanto $\ f^{(n)} = (a,\,b\!+\!2na,\,c+\!nb+n(n\!-\!1)a) $

asi que $\ \ \dfrac{d^n}{{dx}^n}\left((ax^2\!+bx\!+\!c)e^x\right)\, =\, (ax^2\!+(b\!+\!2na)x+c\!+\!nb\!+\!n(n\!-\!1)a)\,e^x$

Answer 3

Primera derivada:$$x^2e^x+2xe^x$ $

Segunda derivada:$$x^2e^x+4xe^x+2e^x$ $

Tercera Derivada:$$x^2e^x+6xe^x+6e^x$ $

Creo que se puede ver el patrón ahora:

ps

Answer 4

Para la diversión, ya que las buenas maneras se han descrito, no tan bueno. Primero un pequeño cambio de notación. Deje $f(x)=x^2e^x$. Nos encontramos con $f^{(10)}(a)$ o, más en general
$f^{(n)}(a)$.

Expandir $e^x$ en una potencia de la serie acerca de la $x=a$. Tenemos $$e^x=\sum_0^\infty \frac{e^a}{n!}(x-a)^n.\tag{1}$$ Expandir$x^2$$x=a$. Tenemos $$x^2=a^2+2a(x-a)+(x-a)^2.\tag{2}$$ Para $n\ge 2$, el coeficiente de $(x-a)^n$ en el producto de (1) y (2) es $$e^a\left(\frac{1}{n!}a^2+\frac{2}{(n-1)!}a+\frac{1}{(n-2)!}\right).$$ El anterior coeficiente de es $\frac{1}{n!}$ multiplicado por la derivada de la $x^2f(x)$$x=a$. De ello se desprende que la derivada es $$e^a\left(a^2 +2na+n(n-1)\right).$$

Observación: Mediante la expansión de $x^k$$x=a$, podemos de la misma manera encontrar la $n$-ésima derivada de $x^ke^x$$x=a$.