Funciones casi disjuntas de tamaño$2^{\omega_1}$ in$\omega^{\omega_1}$

Question

Si asumimos CH, se podría demostrar que existe$2^{\omega_1}$ subconjuntos casi disjuntos de$\omega_1$. Me pregunto bajo CH si es posible demostrar que existe una familia de funciones casi disjuntas de$\omega_1$ a$\omega$ del tamaño$2^{\omega_1}$. Nota 2 las funciones$f$ y$g$ son casi disjuntas en$\omega_1$ if$|\{\alpha<\omega_1: f(\alpha)=g(\alpha)\}|<\omega_1$.

Answer 1

Es consistente que no exista tal familia: Si el ideal no estacionario sobre$\omega_1$ es$\omega_2$ - saturado, entonces no puede haber una familia casi disjunta de funciones de$\omega_1$ a$\omega$ Del tamaño$\omega_2$. Probablemente, algún forzamiento dará la otra dirección también.

De la observación de Jing Zhang a continuación, se deduce que existe tal familia en$L$.