¿Un ideal maximal es siempre un primer ideal?

Question

Un ideal maximal es siempre un primer ideal, y el anillo cociente es siempre un campo. En general, no todo primeros ideales son máximas. 1

$2\mathbb{Z}$ $4 \mathbb{Z} $, Es un ideal maximal. Sin embargo, es no ceba porque $2 \cdot 2 \in 4\mathbb{Z}$ $2 \notin 4\mathbb{Z}$. ¿Es malinterpretar?

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo, no necesariamente con la identidad, no necesariamente conmutativo.

Ideal $\mathfrak{P}$ $R$ se dice que es el primer ideal si y sólo si $\mathfrak{P}\neq R$, y siempre que $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{B}$ son ideales de a$R$, $\mathfrak{AB}\subseteq \mathfrak{P}$ implica $\mathfrak{A}\subseteq \mathfrak{P}$ o $\mathfrak{B}\subseteq \mathfrak{P}$.

(La condición dada por los elementos, $ab\in P$ implica $a\in P$ o $b\in P$, es más fuerte en el caso de no conmutativa anillos, como se evidencia por el cero ideal en el anillo de $M_2(F)$, $F$ un campo, pero es equivalente a la ideal del sabio definición en el caso de anillos conmutativos; esta condición se llama "fuertemente prime" o "totalmente prime". Por lo general, con no conmutativa de los anillos, "el ideal del sabio" de las versiones de multiplicativa ideal propiedades son más débiles que las de "elemento", "sabio" de las versiones, y las dos versiones son equivalentes en anillos conmutativos).

Cuando el anillo no tiene una identidad, usted puede incluso no tener la máxima ideales. Pero aquí es lo que se puede rescatar; recordemos que si $R$ es un anillo, entonces $R^2$ es el ideal de la $R$ dado por todos finito de sumas de los elementos de la forma $ab$ $a,b\in R$ (es decir, es la costumbre ideal de la teoría de producto de $R$ con sí mismo, vistos como ideales). Al $R$ tiene una identidad, $R^2=R$; pero aún cuando la $R$ no tiene una identidad, es posible que $R^2$ a la igualdad de $R$.

Teorema. Deje $R$ ser un anillo, no necesariamente con la identidad, no necesariamente conmutativo. Si $R^2=R$, entonces cada ideal maximal de a $R$ es también una excelente ideal. Si $R^2\neq R$, entonces cualquier ideal que contiene a $R^2$ no es un alojamiento ideal. En particular, si $R^2\neq R$ y no es un ideal maximal que contiene a $R^2$, este ideal es máxima, pero no primos.

Prueba. Supongamos que $R^2=R$. Deje $\mathfrak{M}$ ser un ideal maximal de a $R$; por supuesto, sabemos que $\mathfrak{M}\neq R$. Supongamos ahora que $\mathfrak{A},\mathfrak{B}$ son dos ideales que $\mathfrak{A}\not\subseteq \mathfrak{M}$$\mathfrak{B}\not\subseteq\mathfrak{M}$. Vamos a probar que $\mathfrak{AB}$ no está contenido en $\mathfrak{M}$ (estamos demostrando $\mathfrak{M}$ es primo por contrapositivo). Luego por la maximality de $\mathfrak{M}$, se deduce que el $\mathfrak{M}+\mathfrak{A}=\mathfrak{M}+\mathfrak{B}=R$.

Entonces tenemos: $$\begin{align*} R &= R^2\\ &= (\mathfrak{M}+\mathfrak{A})(\mathfrak{M}+\mathfrak{B})\\ &= \mathfrak{M}^2 + \mathfrak{AM}+\mathfrak{MB}+\mathfrak{AB}\\ &\subseteq \mathfrak{M}+\mathfrak{M}+\mathfrak{M}+\mathfrak{AB}\\ &=\mathfrak{M}+\mathfrak{AB}\\ &\subseteq R, \end{align*}$$ por lo tanto $\mathfrak{M}\subsetneq\mathfrak{M}+\mathfrak{AB}=R$. Por lo tanto, $\mathfrak{AB}\not\subseteq\mathfrak{M}$. Por lo tanto, $\mathfrak{M}$ es un alojamiento ideal, como se reivindica.

Ahora supongamos que $R^2\neq R$ $\mathfrak{I}$ es un ideal de a $R$ que contiene $R^2$. Si $\mathfrak{I}=R$, $\mathfrak{I}$ no es primo. Si $\mathfrak{I}\neq R$,$RR\subseteq \mathfrak{I}$, pero $R\not\subseteq \mathfrak{I}$, lo $\mathfrak{I}$ no es primo. En particular, si $\mathfrak{M}$ es un ideal maximal que contiene a$R^2$, $\mathfrak{M}$ no es primo. $\Box$

En tu ejemplo, tenemos $R=2\mathbb{Z}$, $R^2=4\mathbb{Z}\neq R$, por lo que cualquier ideal que contiene a $R^2$ (en particular, el ideal de $R^2$ sí) no es primo. Y desde $4\mathbb{Z}$ es un ideal maximal que contiene a $R^2$, exhibiendo un ideal maximal que no es primo. (De hecho, $2\mathbb{Z}$ tiene la máxima ideales que contienen cualquier ideales; esto puede ser probado directamente, o invocar el hecho de que es noetherian)

Answer 2

Como señala Thomas, $2\mathbb Z$ no es un "anillo", ya que no contiene ningún elemento de identidad $1.$ es cierto que cada ideal máximo de un Anillo conmutativo con identidad es primer.

Answer 3

Si $R$ es un anillo conmutativo tal que $R^2=R$ (en particular, si R tiene una identidad), entonces cada ideal máximo es cebar.