Comparación de dos números

Question

Me pregunto qué es más grande $100^{300}$ o $300!$ ? ¿Y cómo probarlo? Gracias de antemano.

Answer 1

Para una respuesta exacta (y concluyente), yo tomaría logaritmos de base diez. La más fácil es $\log (100^{300}) = 300\cdot \log 100 = 600$ . El más difícil es $$ \log (300!) = \sum_{i = 1}^{300}\log i $$ que WolframAlpha dice que se trata de $614.5$ . Así que $300!$ es el mayor, en 14 dígitos.

Answer 2

Wikipedia da esta estimación elemental basada en integrales: $$ n! \ge e\left(\frac ne\right)^n $$ Desde $2<e<3$ Esto implica $\displaystyle n! > \left(\frac n 3\right)^n$ según sea necesario: basta con tomar $n=300$ .