Una pregunta sobre un polinomio

Question

Supongamos que$p$ es un polinomio real de grado$n$. Demuestre que para$|x|<1$,$$\sum\limits_{m=0}^\infty{p(m)x^m}=h((1-x)^{-1})$ $ para algún polinomio real$h$ de grado$n+1$ sin el término constante.

He empezado a intentar tomando una expresión específica del polinomio$p$, pero he perdido por completo. Entiendo que este resultado generaliza la siguiente identidad$$(1-x)^{-1}=\sum\limits_{m=0}^\infty{x^m}$$ for $ | x | <1 $ pero ya no podía pensar en ello. La ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Considere los polinomios$$P_0:=1,P_1:=X, P_2:=X(X-1),\dots,P_l:=X(X-1)\dots (X-l+1).$ $ Entonces podemos expresar$p$ como$\sum_{j=0}^nc_jP_j$ para algunos coeficientes$c_j$. Dado que para$|x|\lt 1$, tenemos$$\sum_{m=0}^{+\infty}P_j(m)x^m=\frac{d^j}{dx^j}\left(\frac 1{1-x} \right) $ $ y el último puede expresarse como una constante veces$(1-x)^{-j-1}$, obtenemos el polinomio deseado$h$ sumando$j$ .