Demostrar que [0,1] es equivalente a (0,1) y dar una descripción explícita de una función 1-1 de [0,1] a (0,1)

Question

El problema se plantea de la siguiente manera:

Mostrar que hay una correspondencia uno a uno entre los puntos del intervalo cerrado $[0,1]$ y los puntos del intervalo abierto $(0,1)$ . Dé una descripción explícita de tal correspondencia.

Ahora, creo que puedo probar la primera parte del problema demostrando lo siguiente:

Defina $f: (0,1) \to \mathbb {R}$ de la siguiente manera.

Para $n \in \mathbb {N}$ , $n \geq 2$ , $ \space { }f( \frac {1}{n}) = \frac {1}{n-1}$ y para todos los demás $x \in (0,1)$ , $ \space {}f(x) = x$

1. Demuestra que $f$ es un $1-1$ funcionan desde $(0,1)$ en $(0,1]$

2. Modifique ligeramente la función anterior para probar que $[0,1)$ es equivalente a $[0,1]$

3. Demuestra que $[0,1)$ es equivalente a $(0,1]$

Dado que la relación "equivalente a" es tanto simétrica como transitiva, se debería deducir que $[0,1]$ es equivalente a $(0,1)$ . Por lo tanto, existe una correspondencia unívoca entre $[0,1]$ y $(0,1)$ .

No tengo problemas con lo anterior. Mi problema es "encontrar una descripción explícita de tal correspondencia". ¿Puedo modificar la función anterior, o no será suficiente?

Answer 1

Los pasos 2 y 3 no son necesarios. La función $g:(0,1] \to [0,1]$ definido por $g(1) = 0$ y $g(x) = f(x)$ si $x \neq 1$ es una bendición. Esto muestra que $(0,1]$ es equivalente a $[0,1]$ y, por la transitividad, que $(0,1)$ es equivalente a $[0,1]$ . Además, la función $g \circ f$ es una correspondencia uno a uno entre $(0,1)$ y $[0,1]$ que puedes describir explícitamente.

Answer 2

Sólo dejaría que $a_n=2^{-n}$ para $n=0,1,2, \ldots $ ., y $I_n=(a_{n+1},a_{n})$ . Luego $$(0,1)= \bigcup_ {n=0}^{ \infty }I_n \cup \bigcup_ {n=1}^{ \infty }\{a_{n}\}$$ y $$ [0,1]= \bigcup_ {n=0}^{ \infty }I_n \cup \bigcup_ {n=0}^{ \infty }\{a_{n}\} \cup \{0\}.$$ La función que mapea $0$ a $a_1$ , $a_n$ a $a_{n+2}$ para todos $n$ y es la identidad en cada intervalo $I_n$ es un mapa bijectivo de $[0,1]$ a $(0,1)$ . Eso es, $$ f(x)= \begin {cases} 1/2 & \text {if} \; x=0 \\ x/4 & \text {if} \; x=2^{-n} \; \text {for} \; n \in\mathbb {N} \\ x & \text {otherwise}. \end {cases} $$ Su inverso es simplemente $$ f^{-1}(x)= \begin {cases} 0 & \text {if} \; x=1/2 \\ 4x & \text {if} \; x=2^{-n} \; \text {for} \; n \ge 2 \\ x & \text {otherwise}. \end {cases} $$

Answer 3

Es mucho más fácil que el paso 1.

Paso 2: la misma definición que el paso 1, pero con: $ \forall x∈[0,1), \space f(x)=x$ en lugar de $ \forall x∈(0,1), \space f(x)=x$ .

Paso 3 : $ \forall x, \space f(x)=1-x.$