Cuando uso el método de convolución, no puedo evitar obtener una integral divergente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Voy a resolver esto mediante la convolución pero me encantaría ver a alguien hacerlo usando el contorno de la integración.
Utilizando el hecho de que:
$\frac{1}{\sqrt t}\rightarrow \sqrt \frac{\pi}{s}$ , lo que significa $\frac{1}{\sqrt s}\rightarrow \sqrt \frac{1}{\pi t}$
$\frac{1}{s-a}\rightarrow e^{at}u(t)$ donde $u(t)$ es la unidad de medida (lo que significa que la exponencial es cero para $t<0$, que es probablemente donde salió mal)
Necesitamos encontrar:
$$\sqrt \frac{1}{\pi t} * e^{at}=\frac {1}{\sqrt \pi}\int ^t_0\frac{e^{(at-a\tau)}}{\sqrt \tau}d\tau$$
La razón de que la integral es de $0$ $\infty$es debido a la exponencial $e^{-at}$ es cero para $t<0$. Si tiene problemas para visualizar, aquí es un gif. El exponencial queremos convolución se parece a esto.
$$=\frac {1}{\sqrt \pi}e^{at}\int ^t_0\frac{e^{-a\tau}}{\sqrt \tau}d\tau$$
sustituto $a\tau=b^2$, tenemos:
$$=\frac {1}{\sqrt \pi}e^{at}\int ^{\sqrt{at}}_0 \frac{2}{\sqrt a}{e^{-b^2}}db$$
$$=\frac{1}{\sqrt a}e^{at}\frac {2}{\sqrt \pi}\int ^{\sqrt{at}}_0 {e^{-b^2}}db$$
$$=\frac{1}{\sqrt a}e^{at}erf(\sqrt{at})$$
Que coincide con wolfram respuesta. De nuevo, me encantaría ver a alguien hacer esto utilizando el contorno de la integración.
