Pregunté a una colega y me dio una prueba diferente:
Así que si tienes un subobjeto normal, es el núcleo de su cokernel. Y tienes otro epi normal. Si tomas el pushout de estos dos epis regulares, obtienes lo que se llama un pushout regular, un cuadrado pushout donde todos los morfismos son epis regulares. En ciertos contextos (por ejemplo, semiabeliano) esto es entonces automáticamente una extensión doble (lo que te dije: el morfismo de comparación con el pullback es también un epi regular). Así que si tomas núcleos "hacia arriba", la comparación entre los núcleos también es un epi regular. Esto significa que obtienes una factorización de imagen del compuesto de tu subobjeto normal original y el epi regular a través de ese segundo núcleo que has tomado.
Si he entendido bien, el diagrama que hay que tener en cuenta es el que se muestra a continuación:
![commutative diagram]()
Toma, $A \to B$ es el epimorfismo regular con el que empezamos, $M \to A$ es un monomorfismo normal, $A \to C$ es el cokernel de $M \to A$ , $D$ es el empuje de $A \to B$ y $A \to C$ , $E$ es el pullback de $B \to D$ y $C \to D$ , $N \to B$ es el núcleo de $B \to D$ y $P \to E$ es el núcleo de $E \to C$ .
