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¿Secuencia de potencias de números enteros Gaussian capturando a todos los enteros positivos?

Fijar un número complejo $z=x+iy$ donde $x,y\in \mathbf{Z}$ Considera que la secuencia generada por las potencias $$z^0, z^1, z^2, z^3,z^4 \ldots$$ La pregunta es si es posible la captura de cualquier positiva entero como la parte real o la parte imaginaria de esta secuencia de los poderes, de un determinado número complejo. De algunos de cálculo y el razonamiento,

  1. es muy fácil ver que en el fin de generar todos los números enteros positivos, $x$ $y$ tienen que ser relativamente primos;
  2. parece que la secuencia de elementos reales y la secuencia de piezas imaginarias sopla levante muy temprano y, por tanto, no sería insensato suponer que un número complejo no existe.

    Hay alguna forma de conseguir el asimiento de este problema? Gracias de antemano.

Mi curiosidad en parte surgió de las observaciones de varios polinomio bijection preguntas por ejemplo, vi en MathOverflow. Espero que al menos la simple afirmación de que el problema de la apelación a los propios pensamientos.

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JiminyCricket Puntos 143

He aquí otra más simple prueba:

$a$z^5=(x^5-10x^3y^2+5xy^4) + \mathrm{i}(y^5-10 años^3x^2+5yx^4) \stackrel{\mathrm{A}}{=} x^5+\mathrm{i}y^5 \stackrel{\mathrm{B}}{=} x+\mathrm{i}y=z\mod 10\;.$$

Una es porque o $x$ o $y$ debe ser, incluso, más $z^2$ sólo tiene incluso partes. B es porque, como un anillo de $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ y el quinto poder es la identidad en cada componente.

Por lo tanto los residuos modulo $10$ han período de $4$, por lo que hay en la mayoría de las $8$ diferentes y no podemos producir números con los dos restantes.

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JiminyCricket Puntos 143

Actualización: Esta prueba ya no funciona como es para la nueva pregunta acerca de positivos enteros -- sospecho que podría ser fijo, pero no te molestes ya que el otro es más sencillo y no se ven afectados por el cambio.

Para generar $1$, tenemos que tener $z^k=a+\mathrm{i}b$, y, por tanto,$(\lvert z \rvert^2)^k=a^2+b^2$, $a=1$ o $b=1$. Desde $\lvert z \rvert^2$ es un número entero, $k$ no puede ser, incluso, de lo contrario, tendríamos dos plazas que se diferencian por $1$, lo cual sólo es posible si $\lvert z \rvert=1$, lo cual obviamente no es una solución.

Por lo $k$ debe ser impar. Ahora considere el $(x + \mathrm{i}y)^k$ $k$ impares (y todavía lo $a=1$ o $b=1$). A continuación, todos los términos de la parte real contener un factor de $x$ y todos los términos de la parte imaginaria contienen un factor de $y$. Desde una de estas partes es $1$, se deduce que uno de $x$$y$$\pm 1$. Ambos no pueden ser $\pm 1$, ya que, obviamente no es una solución. Denotar el que no es $\pm1$$w$. (También claramente $w\neq0$.)

Ahora considere el $(x + \mathrm{i}y)^k$ arbitrarias $k$. Todos los términos en las partes real e imaginaria son o $\pm 1$ o múltiplos de $w$. Por lo tanto los únicos residuos modulo $w$ que se producen son $\pm1$$0$. De ello se desprende que $\lvert w \rvert \le 3$, es decir, $w=\pm3$ o $w=\pm2$. Ambos casos son fácilmente excluidos: Con $w=\pm3$, ambas partes de $z^2$ son aún, y por lo tanto no podemos generar cualquier enteros impares otros de $\pm1$$\pm3$. Con $w=\pm2$, los residuos modulo 5 de las partes real e imaginaria son periódicas en $k$ periodo $4$ ($2$ si dejamos caer su signo) y ninguno de los residuos en el período es de $0$, y por lo tanto no podemos generar cualquier múltiplos de $5$. $\Box$

P. S.: me di cuenta de que me mató esta prueba cuando se me propuso para guardar la pregunta mediante la inclusión de $z^0$ :-). Afortunadamente, la prueba puede ser guardado fácilmente; basta con sustituir $1$$-1$.

P. P. S.: Esta avenida ha sido cerrado por la restricción de los enteros positivos.

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