Actualización: Esta prueba ya no funciona como es para la nueva pregunta acerca de positivos enteros -- sospecho que podría ser fijo, pero no te molestes ya que el otro es más sencillo y no se ven afectados por el cambio.
Para generar $1$, tenemos que tener $z^k=a+\mathrm{i}b$, y, por tanto,$(\lvert z \rvert^2)^k=a^2+b^2$, $a=1$ o $b=1$. Desde $\lvert z \rvert^2$ es un número entero, $k$ no puede ser, incluso, de lo contrario, tendríamos dos plazas que se diferencian por $1$, lo cual sólo es posible si $\lvert z \rvert=1$, lo cual obviamente no es una solución.
Por lo $k$ debe ser impar. Ahora considere el $(x + \mathrm{i}y)^k$ $k$ impares (y todavía lo $a=1$ o $b=1$). A continuación, todos los términos de la parte real contener un factor de $x$ y todos los términos de la parte imaginaria contienen un factor de $y$. Desde una de estas partes es $1$, se deduce que uno de $x$$y$$\pm 1$. Ambos no pueden ser $\pm 1$, ya que, obviamente no es una solución. Denotar el que no es $\pm1$$w$. (También claramente $w\neq0$.)
Ahora considere el $(x + \mathrm{i}y)^k$ arbitrarias $k$. Todos los términos en las partes real e imaginaria son o $\pm 1$ o múltiplos de $w$. Por lo tanto los únicos residuos modulo $w$ que se producen son $\pm1$$0$. De ello se desprende que $\lvert w \rvert \le 3$, es decir, $w=\pm3$ o $w=\pm2$. Ambos casos son fácilmente excluidos: Con $w=\pm3$, ambas partes de $z^2$ son aún, y por lo tanto no podemos generar cualquier enteros impares otros de $\pm1$$\pm3$. Con $w=\pm2$, los residuos modulo 5 de las partes real e imaginaria son periódicas en $k$ periodo $4$ ($2$ si dejamos caer su signo) y ninguno de los residuos en el período es de $0$, y por lo tanto no podemos generar cualquier múltiplos de $5$. $\Box$
P. S.: me di cuenta de que me mató esta prueba cuando se me propuso para guardar la pregunta mediante la inclusión de $z^0$ :-). Afortunadamente, la prueba puede ser guardado fácilmente; basta con sustituir $1$$-1$.
P. P. S.: Esta avenida ha sido cerrado por la restricción de los enteros positivos.