Buen problema de optimización de conferencias que implica$\ln x$ or$e^x$

Question

Estoy enseñando una Calc 1 de clases, como un poco más fácil la versión de Calc 1 sin trig. Quiero una buena optimización/problema práctico para hacer en la conferencia que involucra $\ln x$ o $e^x$, para combinar la revisión de optimización/problemas prácticos y el nuevo aprendizaje de $\ln x$ o $e^x$.

Quiero el problema a ser más complicado de lo que, "Encontrar los extremos absolutos de esta función en ese intervalo de tiempo." Quiero que sea un problema de palabras donde se necesita para obtener todos los detalles y convertirlo en un problema del tipo que acabo de mencionar. Yo no puedo pensar en nada que esté al nivel adecuado. Puede usted ayudar?

Answer 1

Lo siguiente es algo puro y realmente no es un problema de palabras, pero es posible que se presta para una buena discusión en el aula, especialmente una en la cual el estudiante calculadora de exploración (en caso de que se desee).

Dado un número real constante$k$, ¿cuáles son las $(x,y)$ coordenadas del punto en la gráfica de $y = e^{kx}$ que es la más cercana al origen? No te pierdas el especial caso de $k = 0.$ Lo que se puede determinar acerca de la ubicación de este punto para $k \rightarrow 0$? ¿Qué se puede determinar acerca de la ubicación de este punto para$k \rightarrow \infty$$k \rightarrow -\infty$?

Usted podría empezar con $k = 1$. Un boceto a mano (esto se revisa el significado de los gráficos de exponenciales) muestra que el punto más cercano al origen es probable que en el 2º cuadrante. Configuración de la primera derivada del cuadrado de la distancia al origen igual a $0$ conduce a la ecuación trascendental $e^{2x} = -x,$ que un boceto a mano muestra tiene una solución en el 2º cuadrante. Aproximaciones para este punto se puede encontrar utilizando el estándar calculadora gráfica métodos. Los estudiantes pueden demostrar que esto es un mínimo absoluto con la primera derivada de la prueba? Los estudiantes pueden demostrar que esto es un mínimo local usando la 2ª derivada de la prueba?

Esto puede ser seguido por considerar, por un número real $c$, el punto en la gráfica de $y = c\ln x$ que es la más cercana al origen. Por ejemplo, el hecho de que los gráficos de $y = e^{x}$ $y = \ln x$ son reflexiones de cada uno de los otros acerca de $y = x$ (se pasa revista a algunos de precálculo ideas que involucran funciones inversas) puede ser llevado para su consideración.

Answer 2

Bob configurar una cuenta con \$1,000 which earns 5% interest compounded continually. Money flows out of the account faster and faster. After 1 year it is flowing out at a rate of \$10 al año y después de 2 años se llevan a cabo a una velocidad de \$20.

Suponga que la velocidad a la que el dinero está fluyendo fuera de la cuenta crece linealmente y encontrar el monto mínimo en la cuenta.

Respuesta: el saldo de La cuenta después de $t$ años, $F(t) = 1000e^{0.05t}-100t$

$F'(t) = 50e^{0.05t}-100=0$ $0.05t = \ln(2)$ $t \approx 13.863$ años con un saldo mínimo de $F(13.863) = $ \$613.71

Nota: $F''(t)=2.5e^{0.05t}>0$, por lo que la función es cóncava hacia arriba y por lo tanto este es un min.

Wolfram Alpha parcela de $F(t)$

Answer 3

Participar un número$X$ a$N$ términos para que el producto de los términos se maximice. Extender el problema para$N \in \mathbb{R}.$