¿Existe una operación binaria sobre los reales no negativos que satisfacen los axiomas métricos y de grupo?

Question

Hay una operación binaria sobre la no negativos reales que satisface la métrica de los axiomas y el grupo de axiomas? I. e., encontrar un $f : S \times S \to S$ tal que $(f,S)$ sigue el grupo y la métrica de los axiomas ($S$ es un conjunto de los reales no negativos) o demostrar que no existe tal función.

He intentado $f: (a,b) \mapsto |a - b|$, pero no es asociativa. Algunos de los otros que he probado son

1. $f: (a,b) \mapsto |a + b|$
2. $f: (a,b) \mapsto |a.b|$
3. $f: (a,b) \mapsto |a / b|$

EDIT : estoy tratando de operación XOR y me parece una opción válida.

Answer 1

Esto se responde en este hilo MathOverflow . Sí, existe tal operación, pero la prueba es altamente no constructiva.