Cálculo de la caja inferior y de la dimensión de la caja

Question

Soy nuevo en este sitio, así que lo siento si la pregunta es estúpida. Estoy aprendiendo fractales y mi profesor me dio el siguiente ejercicio.

Dejemos que $$E=\{0,0\}\cup\left\{\bigcup_{n=1}^\infty (x,1/\sqrt{n}\,):0\leq x\leq 1/\sqrt{n}\right\}$$ Encuentre $\dim_\text{lower box}(E)$ y $\dim_\text{box}(L\cap E)$ para todas las líneas $L$ con gradiente no nulo y que no pasan por $(0,0)$ .

He realizado parte del trabajo pero no sé si es correcto.

$E$ puede ser cubierto por $n(n+1)/2$ cajas de lado $1/\sqrt{n}$ . Pero entonces esto da $$\dim_\text{lower box}(E)\leq\lim_{n\to\infty}\frac{\log(n)+\log(n+1)-\log(2)}{\frac{1}{2}\log(n)}=4$$

Estoy seguro de que esto no es correcto. ¿Podría alguien ayudarme? Muchas gracias.

Ok, ahora me dicen que se supone que sólo debo mostrar $\dim_{lower\ box}\geq\frac{4}{3}$ . ¿Alguien sabe cómo lo hago? Gracias.

Answer 1

Como probablemente se trata de un problema de deberes, voy a ponerlo en marcha.

Supongamos que la anchura de la caja es $\epsilon$ . Para cada segmento de línea $(0,1/\sqrt n)\times\{1/\sqrt n\}$ necesitas al menos $1/(\sqrt n \epsilon)$ cajas, y estas cajas no cubrirán más de un segmento de línea si $\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}} > \epsilon$ , lo que da $n \lessapprox \epsilon^{-2/3}$ ya que $\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}} \approx \frac 1{n^{3/2}}$ .

El número de casillas que esto da se puede escribir como una suma, y esta suma se puede aproximar mediante una integral.