¿Cierre de un espacio compacto siempre compacto?

Question

¿Es el cierre de un compacto subespacio de un espacio topológico siempre compacto?

Quiero decir que no, pero yo no puedo pensar y encontrar cualquier contraejemplos. ¿Creo que su verdadera probablemente con condiciones añadidas, como la propiedad de Hausdorff? Porque el cierre es siempre sistemas cerrados y en un espacio de hausdorff compacto están compactos.

¿Cualquier contraejemplos para un espacio de Hausdorff no?

Answer 1

Considerar el espacio $X = \mathbb{Z}$ equipado con la topología en la que el no-vacío abierto conjuntos son, precisamente, los que contengan $0$.

Como un conjunto finito $\{ 0 \} $ es compacto. Además tenemos que $\overline{\{0\}} = X$ $X$ no es compacto desde $\bigcup_{x \in X} \{0,x\}$ es una cubierta abierta sin finito subcover.

Sin embargo, es siempre el caso de que el cierre de un conjunto compacto en un espacio de Hausdorff compacto, ya que en espacios de Hausdorff compacto conjuntos son cerrados. (no debido a la similar hecho de que usted da que conjuntos cerrados en espacios compactos es compacto, incluso si esos espacios no son Hausdorff)