Una pregunta inversa inspirado por la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Tengo la siguiente pregunta, que pregunta inversa se puede hacer por la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz. Pero no sé cómo resolver esta cuestión:

Supongamos que $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia de números reales tal que\begin{equation} \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \quad \text{is a convergent series whenever}\quad\sum_{n=1}^\infty b_n^2<\infty. \end{equation} demuestre que $\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty$.

Answer 1

Prueba por contraposición. Supongamos que $\sum a_n^2 = \infty$. Utilizando el criterio de Cauchy, mostrar que existe un número positivo $C$ y una secuencia de $\{F_k\}$ de disjuntos subconjuntos finitos de $\Bbb N$ tal que establece $$\sum_{n\in F_k} a_n^2 > C^2\quad (k = 1,2,3,\ldots)$ $ $s_k = \sum\limits_{n\in F_k} a_n^2$, $k = 1,2,3,\ldots$. Definir configuración de $\{b_n\}$ $b_n = \dfrac{a_n}{k\sqrt{s_k}}$ $n\in F_k$ y $b_n = 0$ si no en cualquiera de lo $n$ $F_k$. La suma $$\sum b_n^2 = \sum_k \frac{1}{k^2}\sum_{n\in F_k} \frac{a_n^2}{s_k} = \sum_k \frac{1}{k^2} < \infty$$ and the sum $% $ $\sum a_nb_n = \sum_k \frac{1}{k}\sum_{n\in F_k} \frac{a_n^2}{\sqrt{s_k}} > \sum_k \frac{C}{k} = \infty$