La mayoría de números pares es un % suma $a+b+c+d$donde $a^2+b^2+c^2=d^2$

Question

No tengo ni idea lo difícil es demostrar esta conjetura:

Puede escribirse cualquier número par $n\ge 36$ $n=a+b+c+d$ donde $a^2+b^2+c^2=d^2$ y $a,b,c,d\in\mathbb Z^+$.

Pequeñas excepciones son $n=2, 4, 6, 10, 12, 14, 20, 26, 34.\,$ prueba $n\le 10,000$.

Un contraejemplo sería tan interesante como una prueba.

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$n$ como debe ser uniforme
$d-c,c+d|a^2+b^2$

Answer 1

Si usted vuelva a escribir la suma de los cuadrados como

$$a_4^2-a_3^2=a_1^2+a_2^2$$

Entonces todo lo que usted necesita hacer es encontrar una diferencia de dos cuadrados que equivale a una suma de dos cuadrados.

Si la suma de dos cuadrados es un número impar $b$ con la forma $2k+1$ que es

$$a_1^2+a_2^2=b=2k+1$$

Entonces, dado cualquier número impar puede ser trivialmente escrito como la diferencia de dos cuadrados tenemos

$$\left( \frac{b+1}{2}\right)^2-\left( \frac{b-1}{2}\right)^2=b$$

que inmediatamente da

$$\left( \frac{b+1}{2}\right)^2-\left( \frac{b-1}{2}\right)^2=a_1^2+a_2^2$$

Para adaptarse a su restricción por encima de $\left( \frac{b+1}{2}\right)^2$ es incluso y $\left( \frac{b-1}{2}\right)^2$ es impar.

La mayoría de las sumas de dos cuadrados tienen la forma $4k+1$ como podrás ver por la adición de estos a su vez $$(4k_1+1)^2+(4k_2)^2$$ $$(4k_1+1)^2+(4k_2+1)^2$$ $$(4k_1+1)^2+(4k_2+2)^2$$ $$(4k_1+1)^2+(4k_2+3)^2$$ $$(4k_1+2)^2+(4k_2)^2$$ $$(4k_1+2)^2+(4k_2+1)^2$$ $$(4k_1+2)^2+(4k_2+2)^2$$ $$(4k_1+2)^2+(4k_2+3)^2$$ $$(4k_1+3)^2+(4k_2)^2$$ $$(4k_1+3)^2+(4k_2+3)^2$$

Encontrar los resultados $(\mod 4)$ y ver si usted puede encontrar otras sumas de la forma $a_4^2-a_3^2=a_1^2+a_2^2$

Nota Añadida para ayudar a explicar por qué este enfoque no funciona:

Pensé que la anterior podría ayudar a conducir a una prueba/refutación de la hipótesis. Esperemos los comentarios de abajo va a ayudar a aclarar por qué este enfoque no funciona.

si $a_1=\left( \frac{u-v}{2}\right)$, $a_2=\left( \frac{u+v}{2}\right)$, $a_3=\left( \frac{w-x}{2}\right)$ y $a_4=\left( \frac{w+x}{2}\right)$

$$n=a_1+a_2+a_3+a_4$$ $$n=\left( \frac{u-v}{2}\right)+\left( \frac{u+v}{2}\right)+\left( \frac{w-x}{2}\right)+\left( \frac{w+x}{2}\right)$$ $$n=u+w \tag 1$$ y

$$a_4^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$$ $$\left( \frac{w+x}{2}\right)^2=\left( \frac{u+v}{2}\right)^2+\left( \frac{u-v}{2}\right)^2+\left( \frac{w-x}{2}\right)^2$$

$$wx= \left( \frac{u+v}{2}\right)^2+\left( \frac{u-v}{2}\right)^2$$ o $$2wx=u^2+v^2$$

Sustituyendo $w$ usando (1) da $$ n=u+\frac{u^2+v^2}{2x}$$

$2x$ siendo un factor de $u^2+v^2$.

Este resultado creo que brilla un poco de luz sobre por qué el problema de encontrar $n$ no es posible el uso de este enfoque, que es la dificultad en la búsqueda de una solución general para la factorización de $u^2+v^2$.

Answer 2

$$a^2+b^2+c^2=d^2$$

$$a=2ps$$ $$b=2ks$$ $$c=s^2-p^2-k^2$$ $$d=s^2+p^2+k^2$$

$$2n=2ps+2ks+s^2-p^2-k^2+s^2+p^2+k^2$$

$$qt=n=s(p+k+s)$$

Poner en multiplicadores y recoger el derecho.

O cualquier otro elemento.

$$a=2s(p-k)$$

$$b=2s(p+k)$$

$$c=p^2+k^2-2s^2$$

$$d=p^2+k^2+2s^2$$

$$2n=2p^2+2k^2+4ps$$

$$p(p+2s)=n-k^2$$

Queda por probar todas las posibles $k$. Que la expresión era mayor que $0$.