Se rueda un dado y una moneda se voltea. ¿Qué ocurre con el siguiente razonamiento?:
Que $A=\{1,3,6\}$ (evento de rodillo muere), deje que $B=\{H\}$ (evento de cabezas), $A\cap B=\emptyset$ (puesto que no tienen ningún elemento común) y $\Pr(A\cap B)=\Pr(\emptyset)=0$.
Me doy cuenta que la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes es el producto de sus probabilidades pero quiero saber lo que es 'malo' con este razonamiento.
El problema es la incorrecta elección del espacio muestral.
El espacio de la derecha muestra es $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \times\{H,T\}$ nota que los sucesos elementales se ordenaron pares $(\omega_1, \omega_2)$.
Ahora consideremos los acontecimientos
\begin{align*} E_1&=\{(\omega_1, \omega_2) \in \Omega: \omega_1\in\{1,3,6\}\}\\ E_2&=\{(\omega_1, \omega_2) \in \Omega: \omega_2=H\}\,. \end{align*}
Usted debe poder decir qué $P(E_1 \cap E_2)$ es, y no es $0$.
Supongo que $P$ es la probabilidad uniforme.
$$P(E_1 \cap E_2)=\frac{|E_1 \cap E_2|}{|\Omega|}=\frac{3}{12}=0.25\,.$$
Los eventos son conjuntos de resultados. $\{1,3,6\}$ $\{\mathcal H\}$ son conjuntos de medidas de resultados. Los valores de una tirada de dados, y las enumeraciones de un lanzamiento de la moneda. Son imágenes de los hechos, no los eventos de por sí.
El evento que desea no está en la unión de estos conjuntos, pero la intersección de sus preimages como asignado por los correspondientes variables aleatorias.
Es decir, si dejamos que la variable aleatoria $X$ ser el resultado de la tirada de dados, y $Y$ ser el resultado del lanzamiento de la moneda, el evento al que desea es: $X^{-1}\{1,3,6\}~\cap~Y^{-1}\{\mathcal H\}$.
Podríamos elegir para describir los resultados de los procesos como listas ordenadas de tales medidas. En el que caso de $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}{\times}\{\mathcal H,\mathcal T\}$ es una representación sensible† para un espacio muestral. Es el conjunto de todos los discernible resultados de rodar un dado y lanzar una moneda.
$$\begin{align}X^{-1}\{1,3,6\}~\cap~Y^{-1}\{\mathcal H\}~&=~\{\omega\in\Omega : (X(\omega)\in\{1,3,6\})\wedge (Y(\omega)\in\{\mathcal H\})\} \\[1ex] &=~ \big\{(1,\mathcal H),(3,\mathcal H),(6,\mathcal H)\big\}\end{align}$$
$\begin{align}\\[10ex]\color{silver}{\tiny\dagger\text{ Technically this is still also only a map of the sample space, but let us not fall too far down the rabbit hole.}}\end{align}$
Para decir cosas sensatas acerca de la probabilidad de que el dado muestra un rostro en $\{1,3,6\}$ y una moneda lanzada al aire muestra la cabeza primero debemos construir un modelo adecuado para la situación.
Esto generalmente se hace por medio de un espacio de probabilidad $\langle\Omega,\mathcal F,P\rangle$ junto con las funciones de $X:\Omega\to\{1,2,3,4,5,6\}$$Y:\Omega\to\{H,T\}$.
En este contexto, $\mathcal F$ es una colección de subconjuntos de a $\Omega$ que cumple con las condiciones específicas. Elementos de $\Omega$ son los resultados y los elementos de $\mathcal F$ eventos.
En nuestro ejemplo, los conjuntos de $A=\{1,3,6\}$ $B=\{H\}$ inducir a los eventos:
Tenga en cuenta que nada de puntos es la dirección en la que los eventos de $\{X\in A\}$ $\{Y\in B\}$ debe tener una intersección vacía.
En el otro lado de la nota: $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A)\cdot P(B)=\frac{3}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$ La cosa es que esta es una de dos paso experimento con el primer paso de rodar un dado y el segundo paso de lanzar una moneda. El recuento de la regla de que el número total de resultados experimentales de los múltiples paso experimento es multiplicar el número de resultados en cada paso. En este caso es: $$n(S)=n_1\cdot n_2=6\cdot 2=12.$$ Por lo tanto, todos los expermental resultados conforman el espacio muestral, de las que forma los eventos (o subconjuntos del espacio muestral). En su caso, usted debe: $$X=\{1H,3H,6H\}, P(X)=\frac{n(X)}{n(S)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.$$ Tenga en cuenta que todos los resultados son igualmente probables.
También uno se puede formar un evento desde dentro de cada paso, sin embargo, la intersección de los eventos de los distintos pasos en la teoría de la probabilidad implica la coexistencia de los resultados (a diferencia de la teoría de conjuntos de elementos comunes). Por otra parte, los resultados o eventos dentro de un paso puede ser mutuamente excluyentes o no, mientras que a través de pasos dependientes o independientes. Así, en el caso de que lancen el dado y mover de un tirón una moneda, los eventos $A$ $B$ son a través de los pasos e independiente.
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