Resolver $1^n+2^n+ \ldots +n^n=k!$ sobre los enteros positivos

Question

Si $k,n \in \mathbb{N}^*$, resolver la siguiente ecuación $1^n+2^n+ \ldots +n^n=k!$, donde $k! $ denota $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k$.

Answer 1

Respuesta parcial, completa para $n$ incluso.

Supongamos $n\geq2$. Claramente, $k>n$.

A continuación, $k!$ es par, entonces hay un número par de números impares a la izquierda. Por lo $n\equiv0,3\pmod4$.

Supongamos $n\geq4$ es incluso. Extraño plazas se $1$ mod $8$, e $8\mid k!$, lo $n/2$ es divisible por $8$. Extraño $16$th poderes se $1$ mod $32$$32\mid k!$, lo $n/2$ es divisible por $32$. [...] Extraño $4^m$th poderes se $1$ mod $2^{2m+1}$ (Euler) lo $2^{2m+1}\mid n/2$... etc, contradicción. (Detalles aburridos de la izquierda.)

Supongamos $n\geq3$ es impar. Los números impares tienen impar poderes que son congruentes a sí mismos mod $8$$8\mid k!$, lo $8$ divide $1+3+\cdots+n=(n+1)^2/4$, lo $n\equiv-1\pmod{8}$. A continuación, los números impares tienen $n$th poderes que son congruentes a su inversa modulo $32$$32\mid k!$, lo $32$ divide $(n+1)^2/4$, lo $n\equiv-1\pmod{16}$. A partir de ahora, este argumento no dan nada nuevo: $64\mid(n+1)^2/4$ sólo implica $n\equiv-1\pmod{16}$.

Answer 2

Respondo para $n$ impar, porque barto arriba respondió a la pregunta $n$ incluso.

Tenemos $1^n+2^n+ \ldots+n^n=1+(2^n+n^n)+(3^n+(n-1)^n) + \ldots \equiv 1 \pmod {n+2}$.

Así, $k! \equiv 1 \pmod {n+2}$. Si $k \geqslant n+2$, tenemos $k! \equiv 0 \pmod {n+2}$.

Así, $n<k<n+2$, que produce $k=n+1$.

Tenemos ahora $(n+1)! \equiv 1 \pmod {n+2}$.

Si $n+2$ es una privilegiada, que $n+2=p$ tenemos $(p-1)! \equiv 1 \pmod p$ y Wilson $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$, así que no existen soluciones.

Si $n+2$ no es un primer, que $n+2=ab, (a,b)=1, a,b \leqslant n+1$ tenemos que $a,b \mid (n+1)! \Rightarrow ab \mid (n+1)! \Rightarrow n+2 \mid (n+1)!$, que es una contradicción.

Por lo tanto, no tenemos soluciones si $n \geqslant 3$ impares.

Answer 3

Este es un complemento a la respuesta por knm para mostrar que $k\ge n+2$ (lo suficientemente grande como para $n$).

Deje $S_n=1^n+\cdots+n^n$. En primer lugar, nos muestran que la $S_{n+1}/S_n>2(n+1)$. Para ello, es suficiente para mostrar que $(r+1)^{r+1}/r^r>2(n+1)$ todos los $r=0,\ldots,n$. Desde el LHS es una función creciente, que tiene su máximo en $r=n$, por lo que realmente conseguir $$ \frac{(r+1)^{i+1}}{r^r} \ge \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} > (n+1)\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge 2(n+1). $$ De esto se deduce que $$ \frac{S_{n+1}}{S_n} = \frac{\sum_{i=0}^n (r+1)^{i+1}}{\sum_{i=0}^n r^{r}} > (n+1)\cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \ge 2(n+1). $$

Si $S_n>(n+1)!$ algunos $n$, entonces si $S_n=k!$ debemos tener $k\ge n+2$.

Sin embargo, si $S_n>(n+1)!$,$S_{n+1}>2(n+1)S_n>(n+2)!$, por lo que una vez nos encontramos con un$n$$S_n>(n+1)!$, este también es el caso para todas las grandes $n$.

En particular, $S_3=36>4!$, así que para todos los $n\ge3$ tenemos $S_n>(n+1)!$, lo que implica que $k\ge n+2$ si $k!=S_n$.