¿Significado de $\displaystyle\sqrt[n]{a^n}$?

Question

Hay un fórmula dado en mi módulo:

$$\sqrt[n]{a^n} = a \text{ if $n$ is odd }$$ $$\sqrt[n]{a^n} = |a| \text{ if $n$ is even }$$

No entender realmente las diferencias entre ellos, por favor explicar con un ejemplo.

Answer 1

$\sqrt{(-1)^2} =\sqrt{1} = 1 = |-1|$ , porque para poder hacer la raíz cuadrada de un inequívoco de la operación, estamos de acuerdo en que la raíz cuadrada de un número no negativo $x$ siempre es el (único) número no negativo $r$ tal que $r^2=x$. Pero con la raíz cubica no hay ningún problema: $\sqrt[3]{-1}=-1$, debido a que todo número real tiene una única raíz cúbica.

Lo mismo es cierto con la 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, etc. competencias, ya que $a^n = (-a)^n$, y la 4ª, 6ª, 8ª, 10ª, etc raíces están definidos para ser el único número real no negativo que "funciona", por lo que son inequívocas.

Es decir, hay dos números que cuando se eleva al cuadrado será dado el valor de $2^2$: tanto en$2$$-2$. Hay dos número que cuando se toma a la cuarta potencia le dará $(-6)^4$: tanto en$-6$$6$. Y así sucesivamente. En general, tanto en$a$$-a$, cuando se levantó a un $n$th poder, dan la misma respuesta: $a^n = (-a)^n$. Y estamos de acuerdo en que una raíz cuadrada (raíz cuarta, sexta raíz, etc) va a ser siempre no negativo de la respuesta, por lo que el $n$th raíz de $a^n$ $|a|$ al $n$ es incluso. (No dejes que la gran $-$ "$-a$ " que te engañe, eso no quiere decir que $-a$ es negativo, simplemente significa que el inverso aditivo de lo $a$ es; si $a$ es positivo, $-a$ es negativo, pero si $a$ es negativo, decir $a=-3$, $-a$ es positivo, $-a = -(-3) = 3$. Repita después de mí: la forma correcta de pronunciar "-a" no es "negativo", la pronunciación correcta es "menos").

Pero si $n$ es impar, entonces cada número tiene un único $n$th raíz. En particular, el único número que cuando cubos de da $2^3$$2$; el único número que, cuando es elevado a la quinta potencia, da $(-6)^5$$-6$. Ya no hay el problema de que tanto $6$ $-6$ son respuestas posibles, por lo que podemos decir simplemente que la raíz cúbica de a$(-2)^3$$-2$, la quinta raíz de $7^5$$7$, etc.

Answer 2

Los comentarios para esta respuesta tienen más valor que la respuesta que publiqué. Estoy quitando el contenido de mi respuesta pero dejando las respuestas en el tacto (que es por eso que no estoy borrando este post, si hay que un método alternativo por favor hágamelo saber). Regarads