Suma de un número racional y sus recíprocos ¿puede ser un número entero?

Question

Puede suma de un número racional y su recíproco de un número entero?

Mi hermano me preguntó y yo era incapaz de responder.

La única trivial soluciones que yo podía pensar de se $1$$-1$.

En cuanto a lo que he intentado, me temo que no mucho. Nunca he tratado de resolver esta cuestión, y que si alguien puede me apunte en la dirección correcta, tal vez yo podría completar en mis el propios.

Por favor, no malinterpreten mi pregunta.

Estoy buscando un número racional $r$ donde $r + \frac{1}{r}$ es un número entero.

Answer 1

Parece que está pidiendo un número racional $n$ con la propiedad que $$n+\frac{1}{n}$ $ es un número entero. Que $z$ ser un número entero. Entonces tenemos $$n+\frac{1}{n}=z$ $ y $$n^2+1=zn$$ $$n^2-zn+1=0$ $ y por la fórmula cuadrática, $$n=\frac{z\pm\sqrt{z^2-4}}{2}$ $ $z$ debe ser un número entero y $z^2-4$ debe ser un cuadrado perfecto. Esto sólo puede suceder cuando $z=\pm2$, así que tenemos $$n=\frac{\pm2\pm\sqrt{2^2-4}}{2}$ $ $$n=\frac{\pm2}{2}$ $ $$n=\pm 1$ $ parece que ha encontrado las soluciones solamente!

Answer 2

Que $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=k$, donde $\gcd(m,n)=1$ y $\{m,n,k\}\subset \mathbb N$.

Así, $m^2+n^2=kmn$, que da que $m^2$ divisible por $n$ y $n^2$ divisible por $m$.

Tratar de finalizar ahora.

Answer 3

Más generalmente, si $\ r\in \Bbb Q,\,c\in\Bbb Z\ $ $\ \overbrace{r + c/r}^{\large =\ b}\in\Bbb Z \iff r\,$ es un divisor entero de $\,c$

Prueba de $\ (\Rightarrow)\,\ \ r^2 - b\, r + c = 0\,\Rightarrow\,r\,$ es un divisor entero de $\,c\,$ por TSR = Raíz Racional de la Prueba.

$(\Leftarrow)\ \ $ A la inversa entero $\,r\mid c\,\Rightarrow\, r + c/r\in\Bbb Z.\ \ \ $ [OP es el caso de $\,c=1$ $\,\Rightarrow\, r=\pm1$]

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Comentario $ $ Más en general, si $\ a\, r + c/r = b\ $$\,a,b,c\in\Bbb Z\,$, entonces el razonamiento anterior, podemos deducir $\ a\,r^2 - b\,r + c = 0\,$, por lo que el TSR $\Rightarrow\, r = e/d,\ \gcd(e,d)=1,\ e\mid c,\ d\mid a.\,$ Si $\,a,c\,$ ha $\rm\color{#c00}{few}$ factores, a continuación, sólo una $\rm\color{#c00}{few}$ posibilidades existen para $r,\,$ por ejemplo, si $\,a,c\,$ son primos, a continuación, $\,\pm r = 1,\, c,\,1/a,\,$ o $\,c/a\,$

Estos son casos especiales de las ideas de volver a Kronecker, Schubert y otros que se refieren a la posible factorizations de un polinomio para el factorizations de sus valores. De hecho, podemos idear un simple (pero ineficiente) polinomio factorización algoritmo usando estas ideas. Para más sobre esto punto de vista de ver esta respuesta y de sus enlaces.

Answer 4

Supongamos a continuación $\frac pq+\frac qp =n$ $p^2+q^2=pqn$ $p,q,n$ de números enteros. Una cuadrática en $p$ es $p^2-qnp+q^2=0$ lo que $$p=\frac {qn\pm \sqrt {q^2n^2-4q^2}}{2}$$ so that for the square root to yield an integer we require $n^2-4=m^2$ for some integer $m$. The only two integer squares which differ by $4$ are $0$ and $4$, so $n=\pm 2$ and the only solutions are $p=\pm q$.

Answer 5

Lema(1): Vamos a $a$ & $b$ ser números enteros tales que a $ab \mid a^2+b^2$. Si $\gcd(a,b)=1$, luego de demostrar que $a=\pm b$.

Prueba: pretendemos que $ab=\pm 1$.

• La prueba de la reclamación: Supongamos que en contrario; que $1 < |ab|$. Así que no existe un número primo $p$, el cual se divide $ab$; es decir,$p \mid ab$. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $p \mid a$. Por lo $p$ debe divide $b^2=(a^2+b^2)-a^2$. [Debido a $p$ divide tanto de la $(a^2+b^2)$ & $a^2$.] Así que podemos concluir que el $p$ debe divide $b$; que es una evidente contradicción con la suposición de que $\gcd(a,b)=1$.

Así que podemos concluir que $a=\pm 1$ & $b=\pm 1$; lo que implica que $a=\pm b$.

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Lema(2): Vamos a $a$ & $b$ ser entero tal que $ab \mid a^2+b^2$. Demostrar que $a=\pm b$.

Prueba: Supongamos $d:=\gcd(a,b)$, entonces existen enteros $a^{\prime}$ & $b^{\prime}$ de tal forma que:

$$ a=da^{\prime} \ , \ \ \ \ \ \ \ b=db^{\prime} \ , \ \ \ \ \ \ \ \gcd(a^{\prime},b^{\prime})=1 . $$

La relación $ab \mid a^2+b^2$, implica que existe un entero $k$, de tal forma que:

$$ k(ab) = a^2+b^2 \Longrightarrow k\big( (da^{\prime})(db^{\prime}) \big) = (da^{\prime})^2+(db^{\prime})^2 \Longrightarrow k\big( a^{\prime}b^{\prime} \big) = (a^{\prime})^2+b^{\prime})^2 , $$

así que conseguir un par $(a^{\prime},b^{\prime})$ tal forma que:

$$a^{\prime}b^{\prime} \mid (a^{\prime})^2+b^{\prime})^2 \ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \gcd(a^{\prime},b^{\prime})=1 .$$

Así, por el Lema(1) tenemos:

$$a=d(a^{\prime})=d(\pm b^{\prime})=\pm d(b^{\prime})=\pm b .$$

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Deje $\dfrac{r}{s}$ ser arbitrario no nulo número racional, es decir, $r,s \neq 0$.

Supongamos que $\dfrac{r}{s}+\dfrac{s}{r}=n$ para algunos entero $n$.
Entonces tenemos: $\dfrac{r^2+s^2}{rs}=n$;
lo que implica $rs \mid r^2+s^2$;
así que podemos concluir que el $r=\pm s$.