Deje $V$ $n$- dimensional espacio vectorial sobre un campo $F$ (la característica de que, para el propósito de este post, puede ser tomado como $0$). Deje $T$ ser un operador lineal en $V$$\lambda\in F$.
Hace algún tiempo, en algún lugar (no recuerdo donde) que he leído que
La leche de fórmula. $\det(T-\lambda I)= \sum_{k=0}^n (-1)^k \text{trace}(\Lambda^k T)\lambda^{n-k}$
Me consideran un caso especial de la prueba mediante la toma de $n=3$. Y aquí es lo que tengo:
Deje $\{e_1, e_2, e_3\}$ forma una base para $V$. Entonces $$\det(T-\lambda I)(e_1\wedge e_2\wedge e_3)=(Te_1-\lambda e_1)\wedge (Te_2-\lambda e_2)\wedge (Te_3- \lambda e_3)$$
donde la expansión de la RHS tenemos
$$(\det T)(e_1\wedge e_2\wedge e_3) - \lambda(Te_2\wedge Te_2 \wedge e_3+ Te_1\wedge e_2\wedge Te_3 + e_1\wedge Te_2\wedge Te_3)+\lambda^2(Te_1\wedge e_2\wedge e_3+ e_1\wedge Te_2\wedge e_3+e_1\wedge e_2 \wedge Te_3) - \lambda^3(e_1\wedge e_2\wedge e_3)$$
Desde $\det T=\text{trace}(\Lambda^3 T)$, el coeficiente de $\lambda^0$ coincide con que en la fórmula. También, el coeficiente de $\lambda^2$ es sólo $\text{trace}(T)$, por definición, por lo que este también está bien.
El Problema. Lo que yo no soy capaz de ver es cómo el coeficiente de $\lambda$ eaul a $\text{trace}(\Lambda^2T)$.
Puede alguien por favor ayuda. Gracias.
